Droga (topologia)


Droga (topologia) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Drogaciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

Definicja | edytuj kod

Niech I = 0 , 1 R {\displaystyle I=[0,1]\subset \mathbb {R} } oraz niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią topologiczną. Drogą nazywamy ciągłe przekształcenie f : I X . {\displaystyle f\colon I\to X.}

Punktem początkowym drogi jest f ( 0 ) , {\displaystyle f(0),} a końcowym f ( 1 ) . {\displaystyle f(1).} Często mówi się o „drodze z x {\displaystyle x} do y {\displaystyle y} ”, co oczywiście oznacza, że punkty te są odpowiednio początkowym i końcowym danej drogi.

Pętlą zaczepioną w x X {\displaystyle x\in X} nazywa się drogę z x {\displaystyle x} do x . {\displaystyle x.} Równoważnie można określić ją jako drogę α : I X {\displaystyle \alpha \colon I\to X} taką, że α ( 0 ) = α ( 1 ) {\displaystyle \alpha (0)=\alpha (1)} lub jako ciągłe odwzorowanie okręgu jednostkowego w przestrzeń, czyli α : S 1 X . {\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {S}}^{1}\to X.} Ostatnia równoważność wynika z tego, że S 1 {\displaystyle {\mathcal {S}}^{1}} może być rozważane jako przestrzeń ilorazowa I {\displaystyle I} z utożsamionymi punktami 0 {\displaystyle 0} i 1. {\displaystyle 1.}

Zbiór pętli w X {\displaystyle X} zaczepionych w a {\displaystyle a} nazywamy przestrzenią pętli i oznaczamy symbolem Ω ( X ) . {\displaystyle \Omega (X).}

Drogowa spójność | edytuj kod

 Osobny artykuł: przestrzeń spójna.

Przestrzeń topologiczną, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca, nazywa się drogowo spójną. Każda przestrzeń X {\displaystyle X} może zostać rozbita na zbiór drogowo spójnych składowych, który oznaczany jest często π 0 ( X ) . {\displaystyle \pi _{0}(X).}

Uwagi | edytuj kod

Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej obraz. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem X , {\displaystyle X,} który wygląda jak krzywa, ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} oraz g ( x ) = x 2 {\displaystyle g(x)=x^{2}} będące dwiema różnymi drogami z 0 {\displaystyle 0} do 1 {\displaystyle 1} na prostej rzeczywistej.

Przestrzenie z wyróżnionym punktem | edytuj kod

Można także badać drogi i pętli w przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem, które są ważnymi obiektami w teorii homotopii. Niech ( X , a ) {\displaystyle (X,a)} będzie taką przestrzenią, drogą w ( X , a ) {\displaystyle (X,a)} nazywa się te drogi w X , {\displaystyle X,} których punktem początkowym jest a . {\displaystyle a.} Analogicznie pętlą w ( X , a ) {\displaystyle (X,a)} nazywa się pętle zaczepione w a . {\displaystyle a.}

Homotopia | edytuj kod

Homotopia między dwiema drogami.  Osobny artykuł: homotopia.

Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale topologii algebraicznej, nazywanym teorią homotopii. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej deformacji drogi w jednostce czasu (którą jest przedział jednostkowy I {\displaystyle I} ) przy zachowaniu jej punktów końcowych.

Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem grupę podstawową. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest łukowo spójna, to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.

Drogi | edytuj kod

Homotopią dróg z a {\displaystyle a} do b {\displaystyle b} w X {\displaystyle X} nazywamy rodzinę dróg f t : I X {\displaystyle f_{t}\colon I\to X} taką, że

  • f t ( 0 ) = a {\displaystyle f_{t}(0)=a} i f t ( 1 ) = b {\displaystyle f_{t}(1)=b} są stałe,
  • odwzorowanie F : I × I X {\displaystyle F\colon I\times I\to X} dane wzorem F ( s , t ) = f t ( s ) {\displaystyle F(s,t)=f_{t}(s)} jest ciągłe.

Pętle | edytuj kod

Homotopią pętli α , β Ω ( X , a ) {\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega (X,a)} nazywamy homotopię H : I × I X {\displaystyle H\colon I\times I\to X} łączącą α {\displaystyle \alpha } oraz β {\displaystyle \beta } spełniającą warunek H ( 0 , t ) = H ( 1 , t ) = a {\displaystyle H(0,t)=H(1,t)=a} dla t I . {\displaystyle t\in I.}

Dla powyższej homotopii każda droga α t ( s ) = H ( s , t ) {\displaystyle \alpha _{t}(s)=H(s,t)} jest pętlą w X {\displaystyle X} zaczepioną w a . {\displaystyle a.} Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia a {\displaystyle a} nie ulegał przesunięciu.

Równoważność | edytuj kod

Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się homotopijnymi. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w Ω ( X ) {\displaystyle \Omega (X)} i pętli w Ω ( X , a ) {\displaystyle \Omega (X,a)} relacjami równoważności. Klasa równoważności drogi f {\displaystyle f} tej relacji nazywana jest klasą homotopii i oznaczana często f . {\displaystyle [f].}

Składanie | edytuj kod

Załóżmy, że f {\displaystyle f} jest drogą z x {\displaystyle x} do y , {\displaystyle y,} zaś g {\displaystyle g} z y {\displaystyle y} do z . {\displaystyle z.} Złożeniem dróg f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} nazywamy drogę f g {\displaystyle f\circ g} zdefiniowaną jako uprzednie przejście po f , {\displaystyle f,} a następnie po g : {\displaystyle g{:}}

( f g ) ( s ) = { f ( 2 s ) 0 s 1 2 g ( 2 s 1 ) 1 2 s 1 . {\displaystyle (f\circ g)(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leqslant s\leqslant {\tfrac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant s\leqslant 1\end{cases}}.}

Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w a , {\displaystyle a,} to złożenie dróg staje się działaniem dwuargumentowym. Złożenie dróg nie jest łączne z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj. ( f g ) h = f ( g h ) . {\displaystyle [(f\circ g)\circ h]=[f\circ (g\circ h)].}

Grupa podstawowa | edytuj kod

 Osobny artykuł: grupa podstawowa.

Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie a {\displaystyle a} strukturę grupy, nazywanej grupą podstawową i oznaczaną π 1 ( X , a ) . {\displaystyle \pi _{1}(X,a).}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005.
Na podstawie artykułu: "Droga (topologia)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy