Dwójkowy system liczbowy w encyklopedii
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Dwójkowy zegarek pokazujący godzinę 3:25Dwójkowy system liczbowy lub też system binarny (NKB – naturalny kod binarny) – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2, a do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1.
Spis treści
- 1 Historia
- 2 Zastosowanie
- 3 Zamiany systemu
- 4 Działania na liczbach w systemie dwójkowym
- 5 Zobacz też
- 6 Przypisy
Historia | edytuj kod
Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b[1]. Ojcem nowoczesnego systemu binarnego nazywany jest Gottfried Wilhelm Leibniz[2], autor opublikowanego w 1703 roku artykułu Explication de l’Arithmétique Binaire.
Zastosowanie | edytuj kod
Jest używany w matematyce, informatyce i elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych[2].
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożną kolejnej potęgi podstawy systemu.
Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks, np.
W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste. Na przykład liczby dziesiętne o podstawie 2 można zapisać jako:
ułamek zwykły:
(nawiasem oznaczono okres ułamka).
Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieokresowe w każdym systemie pozycyjnym:
Zamiany systemu | edytuj kod
Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji – na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8 itd.
Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.
Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać według wyżej opisanej zasady, czyli:
Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład
Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:
reszty 0 – 0 to cyfra jedności, reszty 1 – 1 to cyfra drugiego rzędu, reszty 1, reszty 1, reszty 1.Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc
Działania na liczbach w systemie dwójkowym | edytuj kod
Zobacz też: arytmetyka modularna.Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym i opierają się na elementarnych działaniach:
Przykład dodawania w systemie dwójkowym.
111111 1111111 + 10011 10010010
Przykład odejmowania w systemie dwójkowym:
1111111 - 10011 1101100
A w takiej sytuacji pożyczamy jedynkę:
11101 - 10110 00111
(zera z lewej strony można wykreślić).
Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym także podobnie jak w systemie dziesiętnym.
Zobacz też | edytuj kod
- skośny system dwójkowy
- zegar binarny
- ósemkowy system liczbowy
- szesnastkowy system liczbowy
- dziesiętny system liczbowy
Pochodne kodowania liczb całkowitych:
Przypisy | edytuj kod
- ↑ Human choice and computers, 2002, ISBN 1-4020-7185-X .
- ↑ a b EdwardE. Kofler EdwardE., Z dziejów matematyki, Warszawa: Wiedza Powszechna, 1956, s. 27 .
OryginałEdytujHistoria i autorzy
