Dwumian Newtona


Dwumian Newtona w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dwumian Newtona – tradycyjna nazwa twierdzenia nazywanego także wzorem dwumianowym (dwumiennym) lub wzorem Newtona, zgodnie z którym potęgę dwumianu ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} można rozwinąć w sumę jednomianów postaci a x k y l . {\displaystyle ax^{k}y^{l}.} W każdym z tych jednomianów współczynnik a {\displaystyle a} jest dodatnią liczbą całkowitą, a wykładniki przy x {\displaystyle x} oraz y {\displaystyle y} sumują się do n . {\displaystyle n.} Współczynniki a {\displaystyle a} przy jednomianach są symbolami Newtona i nazywane są współczynnikami dwumianowymi.

Spis treści

Twierdzenie | edytuj kod

Współczynniki dwumianowe pojawiają się jako elementy trójkąta Pascala

Jeśli x , y {\displaystyle x,y} są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego[a] (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu x + y {\displaystyle x+y} można rozłożyć na sumę postaci

( x + y ) n = ( n 0 ) x n + ( n 1 ) x n 1 y + ( n 2 ) x n 2 y 2 + ( n 3 ) x n 3 y 3 + + ( n n ) y n , {\displaystyle (x+y)^{n}={\binom {n}{0}}x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y+{\binom {n}{2}}x^{n-2}y^{2}+{\binom {n}{3}}x^{n-3}y^{3}+\dots +{\binom {n}{n}}y^{n},}

gdzie ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.

Przyjmując x 0 = y 0 = 1 {\displaystyle x^{0}=y^{0}=1} (także w przypadku, gdy x = 0 {\displaystyle x=0} lub y = 0 {\displaystyle y=0} ), można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej

( x + y ) n = k = 0 n ( n k ) x n k y k . {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}.}
Uwagi
  1. W szczególności dla x = 1 {\displaystyle x=1} lub y = 1 {\displaystyle y=1} dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona ( 1 + x ) n = k = 0 n ( n k ) x k . {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\;{n \choose k}\;x^{k}.}
  2. Współczynniki dwumianowe są elementami n + 1 {\displaystyle n+1} wiersza w trójkącie Pascala.
Przykłady
( x + y ) 1 = x + y {\displaystyle (x+y)^{1}=x+y} ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}} ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 {\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}

Dowód twierdzenia | edytuj kod

Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.

Dla n = 1 {\displaystyle n=1} jest

( x + y ) 1 = x + y = ( 1 0 ) x y 0 + ( 1 1 ) x 0 y = k = 0 1 ( 1 k ) x 1 k y k . {\displaystyle (x+y)^{1}=x+y={\binom {1}{0}}xy^{0}+{\binom {1}{1}}x^{0}y=\sum _{k=0}^{1}{\binom {1}{k}}x^{1-k}y^{k}.}

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego n . {\displaystyle n.} Wtedy dla n + 1 {\displaystyle n+1} mamy

( x + y ) n + 1 = ( x + y ) ( x + y ) n = ( x + y ) k = 0 n ( n k ) x n k y k = k = 0 n ( n k ) x n k + 1 y k + k = 0 n ( n k ) x n k y k + 1 = ( n 0 ) x n + 1 + k = 1 n ( n k ) + ( n k 1 ) x n k + 1 y k + ( n n ) y n + 1 = ( n + 1 0 ) x n + 1 + k = 1 n ( n + 1 k ) x ( n + 1 ) k y k + ( n + 1 n + 1 ) y n + 1 = k = 0 n + 1 ( n + 1 k ) x ( n + 1 ) k y k , {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)(x+y)^{n}\\&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k+1}y^{k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k+1}\\&={\binom {n}{0}}x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\right]x^{n-k+1}y^{k}+{\binom {n}{n}}y^{n+1}\\&={\binom {n+1}{0}}x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+{\binom {n+1}{n+1}}y^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k},\end{aligned}}}

co kończy dowód.

Historia | edytuj kod

Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise’owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane wielu matematykom żyjącym przed nim.

W IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2[1][2], podobnie jak żyjący w III w. p.n.e. hinduski matematyk Pingala, który znał twierdzenie dla wyższych wykładników. Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i tzw. „trójkąt Pascala” były znane żyjącym:

którzy uzyskali podobne wyniki[3].

Uogólnienie | edytuj kod

Korzystając z uogólnionego symbolu Newtona, możemy wyprowadzić wzór na dowolną (rzeczywistą lub zespoloną) r {\displaystyle r} -tą potęgę sumy x + y , {\displaystyle x+y,} w której x , y {\displaystyle x,y} są rzeczywiste, y > 0 {\displaystyle y>0} oraz | x y | < 1 : {\displaystyle |{\tfrac {x}{y}}|<1{:}}

( x + y ) r = k = 0 ( r k ) x k y r k . {\displaystyle (x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}y^{r-k}.}

Uwagi | edytuj kod

  1. W ogólności łączność pierścienia można zastąpić alternatywnością.

Przypisy | edytuj kod

  1. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Binomial Theorem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
  2. J. L. Coolidge, The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), s. 147–157.
  3. James A. Landau: Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal’s Triangle. W: Archives of Historia Matematica [on-line]. 1999-05-08. [dostęp 2007-04-13].
Kontrola autorytatywna (twierdzenie):
Na podstawie artykułu: "Dwumian Newtona" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy