Dwunastościan foremny


Dwunastościan foremny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Dwunastościan foremny Stereoskopowa animacja składania i obrotu dwunastościanu foremnego Przykładowa siatka dwunastościanu foremnego

Dwunastościan foremny (dodekaedr) – wielościan foremny o 12 ścianach w kształcie przystających pięciokątów foremnych. Ma 30 krawędzi i 20 wierzchołków. Ścinając wierzchołki dwunastościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwunastościan ścięty. Bryła oznaczona jest symbolem Schläfliego {5,3}[1][2].

Wzory i własności | edytuj kod

W poniższych wzorach a {\displaystyle a} oznacza długość krawędzi dwunastościanu foremnego.

S = 3   a 2   5 ( 5 + 2 5 ) 20,645 7   a 2 {\displaystyle S=3\ a^{2}\ {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\approx 20{,}6457\ a^{2}} V = 1 4   a 3   ( 15 + 7 5 ) 7,661 3   a 3 {\displaystyle V={\frac {1}{4}}\ a^{3}\ (15+7{\sqrt {5}})\approx 7{,}6613\ a^{3}} V 20 V 12 = S 20 S 12 = 3 10 ( 5 5 ) {\displaystyle {\frac {V_{20}}{V_{12}}}={\frac {S_{20}}{S_{12}}}={\sqrt {{\frac {3}{10}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}} gdzie V n , S n {\displaystyle V_{n},\;S_{n}} oznacza odpowiednio objętość i pole powierzchni n {\displaystyle n} -ścianu foremnego. r = a 20 10 ( 25 + 11 5 ) 1,113 5   a {\displaystyle r={\frac {a}{20}}{\sqrt {10(25+11{\sqrt {5}})}}\approx 1{,}1135\ a}
  • Promień kuli stycznej do krawędzi[1][2]:
δ = a ( 3 + 5 ) 4 {\displaystyle \delta ={\frac {a(3+{\sqrt {5}})}{4}}} R = a 4   3   ( 1 + 5 ) 1,401 3   a {\displaystyle R={\frac {a}{4}}\ {\sqrt {3}}\ (1+{\sqrt {5}})\approx 1{,}4013\ a} α = arccos ( 5 5 ) 116 , 6 {\displaystyle \alpha =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)\approx 116{,}6^{\circ }} Ih

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d e f g h i Eric W. Weisstein, „Regular Dodecahedron” na MathWorld.
  2. a b c d e f Dwunastościan foremny – dodekaedr, geometria-3d.pl [zarchiwizowane z adresu 2016-05-14] .
Na podstawie artykułu: "Dwunastościan foremny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy