Dynamika (robotyka)


Dynamika (robotyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dynamika (z gr. δύναμις ‘siła’) – zależność pomiędzy przyspieszeniem, prędkością i położeniem a strukturą robota.

Wzór na dynamikę uzyskuje się z równań Eulera-Lagrange’a oraz równań Hamiltona. Przyjmuje on postać:

M ( q ) q ¨ + C ( q , q ˙ ) q ˙ + D ( q ) + T ( q ) = F + u , {\displaystyle M(q){\ddot {q}}+C(q,{\dot {q}}){\dot {q}}+D(q)+T(q)=F+u,} gdzie:
  1. q , q ˙ , q ¨ {\displaystyle q,{\dot {q}},{\ddot {q}}} – to położenie, prędkość oraz przyspieszenie,
  2. M ( q ) {\displaystyle M(q)} – macierz bezwładności,
  3. C ( q , q ˙ ) {\displaystyle C(q,{\dot {q}})} – macierz sił odśrodkowych i Coriolisa,
  4. D ( q ) {\displaystyle D(q)} – macierz grawitacji,
  5. T ( q ) {\displaystyle T(q)} – macierz tarcia,
  6. F + u {\displaystyle F+u} – siły działające na układ.

Najczęściej pomija się siły tarcia oraz przyjmuje, że prawa strona równania przyjmuje postać u {\displaystyle u} (w przypadku robotów mobilnych prawa strona równania przyjmuje postać A T ( q ) λ + B ( q ) u {\displaystyle A^{T}(q)\lambda +B(q)u} ).

Sztywny manipulator | edytuj kod

Ponieważ energia potencjalna manipulatora pochodzi od oddziaływania pola grawitacyjnego w celu obliczenia energii ramienia i-tego (wraz z układem napędowym), można je potraktować jako masę punktową m i {\displaystyle m_{i}} skupioną w środku masy ramienia. Wobec tego nasz model dynamiki manipulatora wygląda następująco:

M ( q ) q ¨ + C ( q , q ˙ ) q ˙ + D ( q ) = u . {\displaystyle M(q){\ddot {q}}+C(q,{\dot {q}}){\dot {q}}+D(q)=u.}

Manipulator o elastycznych przegubach | edytuj kod

W tym przypadku musimy uwzględnić fakt, że z każdym stopniem swobody jest związany układ napędowy co wprowadza nam elastyczność w przegubach. W takiej sytuacji, do opisu dynamiki manipulatora będą potrzebne współrzędne uogólnione q 1 {\displaystyle q_{1}} określające położenia przegubów, oraz q 2 , {\displaystyle q_{2},} które definiują położenia wałów silników napędzających. Model manipulatora elastycznego przyjmuje następującą postać:

M ( q 1 ) q 1 ˙ + C ( q 1 , q 1 ˙ ) q 1 ˙ + D ( q 1 ) + K ( q 1 q 2 ) = 0 , {\displaystyle M(q_{1}){\dot {q_{1}}}+C(q_{1},{\dot {q_{1}}}){\dot {q_{1}}}+D(q_{1})+K(q_{1}-q_{2})=0,} I q 2 ¨ + K ( q 2 q 1 ) = u , {\displaystyle I{\ddot {q_{2}}}+K(q_{2}-q_{1})=u,}

gdzie:

I {\displaystyle I} – macierz bezwładności silników, K {\displaystyle K} – macierz współczynników elastyczności (patrz: ruch harmoniczny).

Robot mobilny | edytuj kod

Dynamika robota mobilnego przyjmuje postać:

M ( q ) q ¨ + C ( q , q ˙ ) q ˙ + D ( q ) + T ( q ) = A T ( q ) λ + B ( q ) u . {\displaystyle M(q){\ddot {q}}+C(q,{\dot {q}}){\dot {q}}+D(q)+T(q)=A^{T}(q)\lambda +B(q)u.}

Stosując wzór na ograniczenia Pfaffa

A ( q ) q ˙ = 0 {\displaystyle A(q){\dot {q}}=0}

oraz bezdryfowy układ sterowania

q ˙ = G ( q ) η , {\displaystyle {\dot {q}}=G(q)\eta ,}

możemy przekształcić wzór na prostszą postać. Przede wszystkim wyznaczamy drugą pochodną q {\displaystyle q} po t , {\displaystyle t,} tj.

q ¨ = G ˙ ( q ) η + G ( q ) η ˙ . {\displaystyle {\ddot {q}}={\dot {G}}(q)\eta +G(q){\dot {\eta }}.}

Następnie korzystając z faktu, iż macierz G(q) skonstruowana jest tak, aby A ( q ) G ( q ) = 0 , {\displaystyle A(q)G(q)=0,} wymnażamy równanie lewostronnie przez G T ( q ) . {\displaystyle G^{T}(q).} Ostatecznie otrzymujemy:

M ~ ( q ) η ˙ + C ~ ( q ) η + D ~ ( q ) = B ~ u . {\displaystyle {\tilde {M}}(q){\dot {\eta }}+{\tilde {C}}(q)\eta +{\tilde {D}}(q)={\tilde {B}}u.}

Tym samym dochodzimy do tego podobnego wzoru, co w przypadku manipulatorów sztywnych. Możemy dzięki temu stosować algorytmy sterowania.

Na podstawie artykułu: "Dynamika (robotyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy