Dyskusja:Funkcja odwrotna


Dyskusja:Funkcja odwrotna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Co z warunkiem istnienia funkcji odwrotnej dla funkcji zapisanej w sposób parametryczny np: X(a,b) = f(a,b) Y(a,b) = g(a,b) Z(a,b) = h(a,b) Jak sprawdzić, czy dana funkcja posiada funkcje odwrotna ?

Pozdrawiam


Wg mnie to wzór: "Zatem funkcja odwrotna ma wzór x = y/2 - 1" powinien wyglądać tak: y = x / 2 1 {\displaystyle y=x/2-1}

Spis treści

funkcje parametryczneedytuj kod

najłatwiej sprawdzić warunki różnowartościowości i "na".

Uwaga odnośnie uwagiedytuj kod

Jak napisano w dziale Uwaga W matematyce istnieją dwie konwencje[potrzebny przypis] rozumienia czym jest zbiór Y {\displaystyle Y} przy zapisie: f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} . Pierwsza z nich zakłada, że w domyśle, zbiór wartości funkcji f {\displaystyle f} zawarty jest w zbiorze Y {\displaystyle Y} , druga z nich zakłada, że to właśnie Y {\displaystyle Y} jest całym zbiorem wartości. Z punktu widzenia definicji funkcji jako trójki uporządkowanej składającej się z dziedziny, przeciwdziedziny i wykresu, funkcje symbole sin : R 1 , 1 {\displaystyle \sin \colon \mathbb {R} \to [-1,1]} oraz sin : R R {\displaystyle \sin \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } mówią o dwóch różnych funkcjach sinus – w praktyce nie ma to jednak większego znaczenia. W praktyce matematycznej, pierwsza konwencja jest popularniejsza. Jednak poniżej w definicji funkcji odwrotnej zakłada się, że Y {\displaystyle Y} jest całym zbiorem wartości funkcji f {\displaystyle f} (tzn., że f {\displaystyle f} jest na zbiór Y {\displaystyle Y} ).

Zwracam tu uwagę na jeden znamienity fakt. Warunkiem istnienia funkcji odwrotnej jest bijektywność funkcji właściwej. Uwaga o dwóch konwencjach jest całkowicie niepoprawna, gdyż zapis: f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} oznacza funkcję f : x {\displaystyle f\colon x} w ELEMENTY ZBIORU Y {\displaystyle Y} Funkcja jest bijekcją wtw gdy jest inienkcją i surjekcją. Więc samo założenie wymusza f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} surjekcją, więc założenie w dziale "Uwaga" jest błędne. Jako źródło polecam słynną książkę Rasiowej. Dlatego też usuwam wpis, gdyż wprowadza on tylko i wyłącznie zamęt. Gwoli uściślenia jako przykład całkowicie poprawnej funkcji można przytoczyć funkcję stałą f(x)=1 Jak widać funkcja ta nie jest surjekcją, nie jest injekcją. Jest poprawnie zdefiniowaną funkcją w zbiór liczb R {\displaystyle \mathbb {R} } . Jednak funkcja odwrotna do danej nie istnieje.
195.150.224.242 (dyskusja) 11:48, 4 lut 2010

UWAGA odnośnie Uwagi odnośnie uwagi: znamienity ≠ znamienny CiaPan (dyskusja) 13:25, 23 gru 2014 (CET)


Odwzorowanie liniowe odwrotneedytuj kod

W przypadku odwzorowań liniowych T , S L ( X ) {\displaystyle T,S\in L(X)} definicję odwzorowania odwrotnego zapisuje się T S = S T = id X {\displaystyle TS=ST=\operatorname {id} _{X}} .

Przestrzenie skończeniewymiaroweedytuj kod

W skończeniewymiarowych przestrzeniach wektorowych T S = id X {\displaystyle TS=\operatorname {id} _{X}} pociąga za sobą S T = id X {\displaystyle ST=\operatorname {id} _{X}} . Wśród dowodów są dwa warianty, różniące się tym, czy jest wykorzystywane pojecie śladu.

Krok 1
T S = id X ( S T ) 2 = S T S T = S id X T = S T {\displaystyle TS=\operatorname {id} _{X}\Rightarrow (ST)^{2}=STST=S\operatorname {id} _{X}T=ST} , czyli S T {\displaystyle ST} jest rzutem.
Krok 2, wariant 1
Ponieważ dim Im ( S T ) max { dim Im ( S ) ; dim Im ( T ) } {\displaystyle \operatorname {dim} \operatorname {Im} (ST)\leqslant \operatorname {max} \{\operatorname {dim} \operatorname {Im} (S);\operatorname {dim} \operatorname {Im} (T)\}} i Im ( S T ) = X {\displaystyle \operatorname {Im} (ST)=X} , więc dim Im ( S ) = dim Im ( T ) = dim X {\displaystyle \operatorname {dim} \operatorname {Im} (S)=\operatorname {dim} \operatorname {Im} (T)=\operatorname {dim} X} , czyli Im ( S ) = Im ( T ) = X {\displaystyle \operatorname {Im} (S)=\operatorname {Im} (T)=X} , Oznacza to, że S {\displaystyle S} i T {\displaystyle T} są różnowartościowe, a co za tym idzie S T {\displaystyle ST} jest różnowartościowym rzutem. Jedynym takim rzutem jest id X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}} .
Krok 2, wariant 2
Znaczy to, że istnieje baza, w której macierz operatora S T {\displaystyle ST} ma na przekątnej tylko zera i jedynki. dim Ran ( S T ) = Tr ( S T ) = Tr ( T S ) = dim X {\displaystyle \operatorname {dim} \,\operatorname {Ran} (ST)=\operatorname {Tr} (ST)=\operatorname {Tr} (TS)=\operatorname {dim} X} (wymiar obrazu S T {\displaystyle ST} jest równy wymiarowi całej przestrzeni), a to oznacza, że S T = id X {\displaystyle ST=\operatorname {id} _{X}} . Wariant pierwszy podał w mailu dr hab. Piotr Sołatn z Wydziału Matematyki i Informatyki UW, autor skryptu Algebra II – Wykład 1 do którego prowadził martwy w chwili obecnie link w przypisie i tą wersję uznał za lepszą od poprzedniej i zalecaną, bo nie odwołuje się ona do pojęcia śladu (to pojęcie wymaga dodatkowych założeń o charakterystyce ciała, nad którym jest rozpięta przestrzeń). Dodatkowa zaleta tego dowodu polega na tym, że nie odwołuje się on bezpośrednio do żadnych pojęć z rachunku macierzowego. --Wojciech Słota (dyskusja) 23:35, 14 gru 2014 (CET)

Przestrzenie nieskończeniewymiaroweedytuj kod

Twierdzenie to nie jest prawdziwe w przestrzeniach nieskończeniewymiarowych. Np. dla odwzorowań określonych w przestrzeni wielomianów zdefiniowanych przez swoje działanie na jednomianach:

T ( x n ) = n x n 1 {\displaystyle T(x^{n})=nx^{n-1}} (różniczkowanie) S ( x n ) = x n + 1 n + 1 {\displaystyle S(x^{n})={\frac {x^{n+1}}{n+1}}} (całkowanie ze stałą 0)

T S = id X {\displaystyle TS=\operatorname {id} _{X}} , ale S T {\displaystyle ST} zeruje wielomiany stałe.

Można to też wyjaśnić, traktując S {\displaystyle S} i T {\displaystyle T} jak zwykłe funkcje. Nie są one bijekcjami z X {\displaystyle X} do X {\displaystyle X} , gdyż S {\displaystyle S} nie jest funkcją "na", zaś T {\displaystyle T} nie jest funkcją różnowartościową. Są one za to bijekcjami odpowiednio z X {\displaystyle X} do Y {\displaystyle Y} i z Y {\displaystyle Y} do X {\displaystyle X} , gdzie Y {\displaystyle Y} jest podprzestrzenią (a wiec i podzbiorem) wielomianów bez wyrazu stałego, i z takimi dziedzinami i przeciwdziedzinami są funkcjami wzajemnie odwrotnymi. Są też wzajemnie odwrotne jako odwzorowania liniowe należące do odpowiednio L ( X , Y ) {\displaystyle L(X,Y)} i L ( Y , X ) {\displaystyle L(Y,X)} . Podobnie sin {\displaystyle \sin } jako funkcja z R {\displaystyle \mathbb {R} } w 1 , 1 {\displaystyle [-1,1]} i arcsin {\displaystyle \arcsin } jako funkcja z 1 , 1 {\displaystyle [-1,1]} w R {\displaystyle \mathbb {R} } nie są funkcjami odwrotnymi, ale są funkcjami odwrotnymi jako funkcje z π 2 , π 2 {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} w 1 , 1 {\displaystyle [-1,1]} i z 1 , 1 {\displaystyle [-1,1]} w π 2 , π 2 {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} .

Podobnie w przestrzeniach skończeniewymiarowych nie istnieją operatory takie, że S T T S = id X {\displaystyle ST-TS=\operatorname {id} _{X}} , ale własność tę mają operatory różniczkowania wielomianu i mnożenia wielomianu przez x {\displaystyle x} .

Zapisuję wersję ze starym i nowym wariantem dowodu, i z podkreśleniem, że odwzorowanie liniowe odwrotne to szczególny przypadek funkcji odwrotnej (w tym bez zmiany, którą sam wprowadziłem na prośbę, nie pamiętając, dlaczego wcześniej nie pisałem o osobnej definicji). Problem w tym, że dodatkowe uwagi nie mają źródeł, więc powiszą tutaj, aż jakieś znajdę. BartekChom (dyskusja) 17:58, 14 gru 2014 (CET)
Na podstawie artykułu: "Dyskusja:Funkcja odwrotna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy