Działanie dwuargumentowe


Działanie dwuargumentowe w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Działanie dwuargumentowe a. binarnedziałanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.

Oznaczenia | edytuj kod

 Osobne artykuły: zapis przedrostkowy, zapis wrostkowyzapis przyrostkowy.

Działania, w przeciwieństwie do funkcji zapisywanych zwykle z wykorzystaniem zapisu przedrostkowego, np. f ( a , b ) , {\displaystyle f(a,b),} opisuje się najczęściej za pomocą zapisu wrostkowego, np. a b , {\displaystyle a\oplus b,} choć oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby korzystać z pozostałych sposobów: dla funkcji (działania) {\displaystyle \diamondsuit } wyróżnia się notacje

  • przedrostkową, prefiksową lub polską, ( x , y ) , {\displaystyle \diamondsuit (x,y),}
  • przyrostkową, postfiksową lub odwrotną polską, ( x , y ) , {\displaystyle (x,y)\diamondsuit ,}
  • wrostkowa, infiksowa, ( x y ) . {\displaystyle (x\;\diamondsuit \;y).}

Przykładowo wyrażenie wrostkowe 2 ( 4 1 ) + 3 , {\displaystyle 2\cdot (4-1)+3,} będzie miało następującą postać

  • prefiksową: + 2 4 1 3 , {\displaystyle +\,\cdot \,2\,-\,4\;1\;3,}
  • postfiksową: 2 4 1 3 + . {\displaystyle 2\,4\,1\,-\,\cdot \,3\,+.}

Przewagą notacji przyrostkowej, jak i przedrostkowej nad notacją wrostkowej jest fakt, że nawiasy w wyrażeniach można pominąć nawet wtedy, gdy działanie nie jest łączne.

Ze względu na tradycję, szczególnie jeśli rozważa się więcej niż jedno działanie i pozostają one między sobą w pewnej relacji, to funkcje w zapisie addytywnym zapisuje się zwykle z wykorzystaniem symboli zawierających:

  • plus: + {\displaystyle +\oplus \bigoplus \uplus \biguplus \boxplus } lub
  • zwężających się ku dołowi: . {\displaystyle \cup \bigcup \biguplus \sqcup \bigsqcup \vee \bigvee .}

Działanie odwrotne do powyższego zapisuje się zazwyczaj za pomocą symboli zawierających poziomą kreskę . {\displaystyle -\circleddash \ominus \boxminus .}

Symbole działań w zapisie multiplikatywnym obejmują m.in.:

  • kropkę lub okrągły znak: , {\displaystyle \cdot \circ \bullet \bigodot \boxdot \;\circledcirc ,}
  • iks: × , {\displaystyle \times \otimes \bigotimes \boxtimes ,}
  • gwiazdkę: {\displaystyle \star *\circledast } lub
  • zwężające się ku górze . {\displaystyle \cap \bigcap \sqcap \wedge \bigwedge .}

Popularne działania multiplikatywne (mnożenia) częstokroć nie posiadają oznaczenia. Działanie odwrotne do powyższego oznacza się najczęściej przez 1 , {\displaystyle \cdot ^{-1},} notacji wynikającej z definicji potęgowania.

Przykłady | edytuj kod

 Zobacz też: algebra ogólna.

Działania wewnętrzne | edytuj kod

Działanie wewnętrzne to funkcja przypisująca każdej parze uporządkowanej elementów danego zbioru X {\displaystyle X} element tego zbioru,

: X × X X , x , y X ( x , y ) ( x , y ) {\displaystyle \heartsuit \colon X\times X\to X,\quad \forall _{x,y\in X}\;(x,y)\mapsto \heartsuit (x,y)}

Strukturę ( X , ) {\displaystyle (X,\heartsuit )} nazywa się grupoidem. Jeśli jest ono dodatkowo łączne, strukturę tę nazywa się półgrupą. Jeśli działanie {\displaystyle \heartsuit } ma dodatkowo element neutralny, to struktura ( X , ) {\displaystyle (X,\heartsuit )} jest monoidem. Jeśli struktura ( X , , ) {\displaystyle (X,\diamondsuit ,\heartsuit )} jest grupą ze względu na przemienne działanie {\displaystyle \diamondsuit } i półgrupą ze względu na , {\displaystyle \heartsuit ,} przy czym działanie {\displaystyle \heartsuit } jest rozdzielne względem , {\displaystyle \diamondsuit ,} to strukturę tę nazywa się pierścieniem. Jeżeli działanie {\displaystyle \heartsuit } jest przemienne, to dowolną z powyższych struktur nazywa się przemienną.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie na liczbach rzeczywistych są działaniami dwuargumentowym w zbiorze liczb rzeczywistych. Dzielenie nie jest działaniem, gdyż nie jest określone dla par postaci ( x , 0 ) . {\displaystyle (x,0).} Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Z kolei odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest 0 , {\displaystyle 0,} elementem neutralnym mnożenia jest 1. {\displaystyle 1.} Działania odejmowania i dzielenia liczb rzeczywistych nie mają elementów neutralnych.

W zbiorze liczb naturalnych można określić działanie potęgowania: x y , {\displaystyle x^{y},} które parze liczb ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} przypisuje odpowiednią potęgę: x , y N ( x , y ) x y . {\displaystyle \forall _{x,y\in \mathbb {N} }\;(x,y)\mapsto x^{y}.}

Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze wektorów tej przestrzeni.

Działanie składania funkcji : X × X X {\displaystyle \circ \colon X\times X\to X} jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze X . {\displaystyle X.} W ogólności składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne.

Działania zewnętrzne | edytuj kod

Działanie zewnętrzne to funkcja przypisująca każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów X {\displaystyle X} oraz Y {\displaystyle Y} element pewnego zbioru Z , {\displaystyle Z,}

: X × Y Z , x X , y Y ( x , y ) ( x , y ) {\displaystyle \spadesuit \colon X\times Y\to Z,\quad \forall _{x\in X,y\in Y}\;(x,y)\mapsto \spadesuit (x,y)}

Przykładami takich działań są

  • mnożenie przez skalar w przestrzeni liniowej V {\displaystyle V} nad ciałem K , {\displaystyle K,} : K × V V , {\displaystyle \cdot \colon K\times V\to V,}
  • działanie grupy G {\displaystyle G} na zbiorze X , {\displaystyle X,} φ : G × X X , {\displaystyle \varphi \colon G\times X\to X,}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Działanie dwuargumentowe" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy