Dziedzina Euklidesa


Dziedzina Euklidesa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dziedzina Euklidesa (albo pierścień Euklidesa, pierścień euklidesowy) – najbardziej ogólny typ pierścieni, w którym możliwe jest wyznaczenie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa.

Definicja | edytuj kod

Dziedzinę całkowitości R {\displaystyle R} nazywa się dziedziną Euklidesa (albo pierścieniem Euklidesa, pierścieniem euklidesowym), jeżeli istnieje taka funkcja

N : R N {\displaystyle N\colon R\to \mathbb {N} }

(nazywana normą), że

  • N ( 0 ) = 0 , {\displaystyle N(0)=0,}
  • dla dowolnych a , b R , {\displaystyle a,b\in R,} gdzie b 0 , {\displaystyle b\neq 0,} istnieją takie q , r R , {\displaystyle q,r\in R,} że
a = b q + r {\displaystyle a=bq+r} oraz zachodzi jeden z warunków: r = 0 {\displaystyle r=0} lub N ( r ) < N ( b ) . {\displaystyle N(r)<N(b).}

Czasami dodatkowo przyjmuje się również, że:

  • N ( a ) N ( a b ) {\displaystyle N(a)\leq N(ab)} dla a , b R , {\displaystyle a,b\in R,}

jednak nie jest to konieczne: każda dziedzina całkowitości R , {\displaystyle R,} która może być wyposażona w funkcję M {\displaystyle M} spełniającą pierwsze dwa warunki, może być również wyposażona w funkcję N {\displaystyle N} spełniającą również trzeci warunek. Istotnie, dla a 0 {\displaystyle a\neq 0} można zdefiniować N ( a ) {\displaystyle N(a)} wzorem

N ( a ) = min x R { 0 } M ( x a ) . {\displaystyle N(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}M(xa).}

Własności | edytuj kod

Każdy pierścień Euklidesa jest pierścieniem ideałów głównych.

Dowód. Każdy pierścień Euklidesa jest z definicji dziedziną całkowitości. Należy wykazać, że jeżeli I {\displaystyle I} jest ideałem w pierścieniu Euklidesa R , {\displaystyle R,} to I = b R {\displaystyle I=bR} dla pewnego b R . {\displaystyle b\in R.} Jeżeli I = { 0 } , {\displaystyle I=\{0\},} I = 0 R . {\displaystyle I=0R.} Niech b I , {\displaystyle b\in I,} b 0 {\displaystyle b\neq 0} w przypadku, gdy I { 0 } . {\displaystyle I\neq \{0\}.} Bez straty ogólności, można przyjąć, że v ( b ) {\displaystyle v(b)} jest minimalne, tzn. v ( b ) v ( a ) {\displaystyle v(b)\leq v(a)} dla każdego niezerowego a R . {\displaystyle a\in R.} Twierdzimy, że I = b R . {\displaystyle I=bR.} Ponieważ b I , {\displaystyle b\in I,} zachodzi inkluzja b R I , {\displaystyle bR\subseteq I,} należy zatem wykazać inkluzję przeciwną. Niech a I . {\displaystyle a\in I.} Istnieją zatem takie q , r R , {\displaystyle q,r\in R,} że a = q b + r . {\displaystyle a=qb+r.} Ponieważ v ( b ) {\displaystyle v(b)} jest minimalne, r = 0 , {\displaystyle r=0,} czyli zachodzi równość a = q b , {\displaystyle a=qb,} tj. a b R , {\displaystyle a\in bR,} co dowodzi inkluzji I b R . {\displaystyle I\subseteq bR.}

Istnieją pierścienie ideałów głównych, których nie da się wyposażyć w normę (tj. nie są pierścieniami euklidesowymi). Przykładem takiego pierścienia jest

Z 1 + 19 i 2 . {\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {1+{\sqrt {19}}\mathrm {i} }{2}}\right].}

Największy wspólny dzielnik dwóch niezerowych elementów pierścienia Euklidesa można odnaleźć przy pomocy algorytmu Euklidesa. Jeżeli R {\displaystyle R} jest pierścieniem Euklidesa a , b R { 0 } , {\displaystyle a,b\in R\setminus \{0\},} to można utworzyć taki ciąg równości

{ a = b q 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3 r 2 = r 3 q 4 + r 4 , {\displaystyle {\begin{cases}a=bq_{1}+r_{1}\\b=r_{1}q_{2}+r_{2}\\r_{1}=r_{2}q_{3}+r_{3}\\r_{2}=r_{3}q_{4}+r_{4}\\\dots \end{cases}},}

aby

N ( b ) > N ( r 1 ) > N ( r 2 ) > {\displaystyle N(b)>N(r_{1})>N(r_{2})>\dots }

Ciąg taki (jako malejący ciąg liczb całkowitych dodatnich) musi być skończony, zatem dla pewnej liczby naturalnej k {\displaystyle k} zachodzi równość r k + 1 = 0. {\displaystyle r_{k+1}=0.} Dla najmniejszego takiego k {\displaystyle k} reszta r k {\displaystyle r_{k}} jest największym wspólnym dzielnikiem elementów a , b R . {\displaystyle a,b\in R.} Zatem jeśli można wyznaczyć q 1 , q 2 , {\displaystyle q_{1},q_{2},\dots } i r 1 , r 2 , , {\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,} to można wyznaczyć największy wspólny dzielnik a {\displaystyle a} i b . {\displaystyle b.}

Przykłady | edytuj kod

Pierścieniami Euklidesa są:

  • Pierścień liczb całkowitych z normą N ( x ) = | x | , {\displaystyle N(x)=|x|,}
  • Pierścień Z i {\displaystyle \mathbb {Z} [{\text{i}}]} liczb całkowitych Gaussa wraz z normą N ( z ) = a 2 + b 2 , {\displaystyle N(z)=a^{2}+b^{2},} gdzie z = a + b i , {\displaystyle z=a+b{\text{i}},}
  • Pierścień Z e 2 π i / 3 {\displaystyle \mathbb {Z} [e^{2\pi {\text{i}}/3}]} liczb całkowitych Eisensteina z normą N ( z ) = a 2 + b 2 a b , {\displaystyle N(z)=a^{2}+b^{2}-ab,} gdzie z = a + b e 2 π i / 3 , {\displaystyle z=a+b\cdot e^{2\pi {\text{i}}/3},}
  • Pierścień wielomianów F x {\displaystyle F[x]} nad dowolnym ciałem F {\displaystyle F} wyposażony z normę N ( f ) {\displaystyle N(f)} = stopień wielomianu f {\displaystyle f} jest pierścieniem Euklidesa. Dokładniej, własność ta charakteryzuje ciała pośród pierścieni, gdyż dla dowolnego pierścienia R {\displaystyle R} następujące warunki są równoważne:
    • R {\displaystyle R} jest ciałem,
    • Pierścień wielomianów R x {\displaystyle R[x]} jest pierścieniem Euklidesowym,
    • Pierścień wielomianów R x {\displaystyle R[x]} jest pierścieniem ideałów głównych.
  • Niech p {\displaystyle p} będzie liczbą pierwszą oraz niech T p {\displaystyle T_{p}} oznacza rodzinę liczb wymiernych postaci m / n , {\displaystyle m/n,} dla których p {\displaystyle p} nie dzieli n . {\displaystyle n.} Rodzina T p {\displaystyle T_{p}} jest podpierścieniem ciała liczb wymiernych. Każdy element pierścienia T p {\displaystyle T_{p}} może być zapisany w postaci p k / n , {\displaystyle p^{k}\ell /n,} gdzie p {\displaystyle p} nie dzieli ani , {\displaystyle \ell ,} ani n . {\displaystyle n.} Funkcja v {\displaystyle v} dana wzorem v ( p k / n ) = k {\displaystyle v(p^{k}\ell /n)=k} dla p k / n 0 {\displaystyle p^{k}\ell /n\neq 0} jest normą, tzn. T p {\displaystyle T_{p}} jest pierścieniem Euklidesa.
Na podstawie artykułu: "Dziedzina Euklidesa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy