Dziedzina całkowitości


Dziedzina całkowitości w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Dziedzina całkowitościniezerowy pierścień przemienny z jedynką bez (właściwych) dzielników zera. Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.

Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa się dziedzinami, wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie również dziedzinami. Inną nazwą dziedziny całkowitości, pochodzącą od Langa, jest pierścień całkowity.

Własności | edytuj kod

  • Niech R {\displaystyle R} będzie dziedziną całkowitości. Jeżeli a , b , c R , {\displaystyle a,b,c\in R,} przy czym c 0 , {\displaystyle c\neq 0,} to zachodzi własność skracania:
jeśli a c = b c , {\displaystyle ac=bc,} to a = b . {\displaystyle a=b.} Dowód: Niech c 0. {\displaystyle c\neq 0.} Jeśli a c = b c , {\displaystyle ac=bc,} to a c b c = 0 , {\displaystyle ac-bc=0,} czyli ( a b ) c = 0. {\displaystyle (a-b)c=0.} Ale w pierścieniu R {\displaystyle R} nie ma dzielników zera, więc a b = 0. {\displaystyle a-b=0.} Stąd a = b . {\displaystyle a=b.}
  • Każde ciało jest dziedziną całkowitości.
    Dowód: Zbiór niezerowych elementów ciała jest grupą, tzn. iloczyn niezerowych elementów jest różny od zera.
  • Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.
    Dowód: Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu a 0 {\displaystyle a\neq 0} jego iloczyny ze wszystkimi n {\displaystyle n} elementami pierścienia: a a 1 , a a 2 , , a a n . {\displaystyle aa_{1},aa_{2},\dots ,aa_{n}.} Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np. a a i = a a j {\displaystyle aa_{i}=aa_{j}} dla pewnych i j . {\displaystyle i\neq j.} Ale z własności skracania wynika a i = a j {\displaystyle a_{i}=a_{j}} wbrew temu, że a i ,   a j {\displaystyle a_{i},\ a_{j}} są różnymi elementami.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Dziedzina całkowitości" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy