Dzielnik zera


Dzielnik zera w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dzielnik zera – element a {\displaystyle a} pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element b {\displaystyle b} spełniający a b = 0. {\displaystyle ab=0.}

W nietrywialnym pierścieniu, czyli takim, w którym 1 0 , {\displaystyle 1\neq 0,} dzielnikiem zera jest zero tego pierścienia; jeżeli istnieje dzielnik zera różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera. Nietrywialny pierścień przemienny z jedynką, w którym brak właściwych dzielników zera, nazywamy dziedziną całkowitości[1]. Dziedziną całkowitości jest np. pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało.

Spis treści

Własności | edytuj kod

Dowód Niech a A {\displaystyle a\in A} będzie dowolnym dzielnikiem właściwym. Zauważamy najpierw, że ideał główny ( a ) {\displaystyle (a)} generowany przez a {\displaystyle a} jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej relacją inkluzji istnieje (na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna) ideał maksymalny M , {\displaystyle {\mathcal {M}},} którego elementami są dzielniki zera, i zawierający ideał główny ( a ) . {\displaystyle (a).} Ponieważ M {\displaystyle {\mathcal {M}}} jest ideałem maksymalnym, jest także ideałem pierwszym (patrz własności). Dowód: Gdyby dla elementu a {\displaystyle a} istniały elementy b 0 {\displaystyle b\neq 0} i c {\displaystyle c} takie, że a b = 0 , {\displaystyle ab=0,} a c = c a = 1 , {\displaystyle ac=ca=1,} to: b = 1 b = ( c a ) b = c ( a b ) = c 0 = 0 {\displaystyle b=1\cdot b=(ca)b=c(ab)=c\cdot 0=0} wbrew założeniu.

Przykłady | edytuj kod

  • W pierścieniu Z 6 {\displaystyle \mathbb {Z} _{6}} właściwymi dzielnikami zera są 2 {\displaystyle 2} i 3 , {\displaystyle 3,} bowiem 2 3 = 0 ; {\displaystyle 2\cdot 3=0;}
  • W pierścieniu liczb dualnych właściwym dzielnikiem zera jest ( 0 , 1 ) , {\displaystyle (0,1),} bowiem ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) = ( 0 , 0 ) ; {\displaystyle (0,1)\cdot (0,1)=(0,0);}
  • W pierścieniu liczb podwójnych dzielnikami zera są ( 2 , 2 ) {\displaystyle (2,2)} i ( 3 , 3 ) , {\displaystyle (3,-3),} bowiem ( 2 , 2 ) ( 3 , 3 ) = ( 0 , 0 ) ; {\displaystyle (2,2)\cdot (3,-3)=(0,0);}
  • W pierścieniu macierzy kwadratowych stopnia 2 dzielnikiem zera jest np. macierz osobliwa ( 1 1 2 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}} ponieważ ( 1 1 2 2 ) ( 1 1 1 1 ) = ( 0 0 0 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 10.
Na podstawie artykułu: "Dzielnik zera" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy