Element neutralny


Element neutralny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Element neutralny – element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

Definicja | edytuj kod

Niech S {\displaystyle S} będzie zbiorem z określonym działaniem dwuargumentowym . {\displaystyle \diamondsuit .} Element e {\displaystyle e} nazywa się elementem neutralnym, jeżeli spełnia następujące warunki:

  • e S , {\displaystyle e\in S,}
  • a S e a = a , {\displaystyle \forall _{a\in S}\;e\;\diamondsuit \;a=a,}
  • a S a e = a . {\displaystyle \forall _{a\in S}\;a\;\diamondsuit \;e=a.}

Jeżeli element spełnia tylko pierwszy warunek definicji, to nazywa się go elementem neutralny lewostronnym, jeżeli zaś zadość jest wyłącznie drugiemu z nich, to nosi on nazwę elementu neutralnego prawostronnego. Dla wyróżnienia element neutralny nazywa się niekiedy elementem neutralnym obustronnym.

Oznaczenia | edytuj kod

Jeśli działanie zapisane jest w notacji addytywnej, czyli przez + {\displaystyle +} i podobne symbole, to element neutralny względem tego działania oznacza się zazwyczaj symbolem 0 {\displaystyle 0} i nazywa elementem zerowym lub krótko: zerem. Jeśli natomiast działanie opisywane jest w notacji multiplikatywnej, czyli zwykle za pomocą , × {\displaystyle \cdot ,\times } lub bez oznaczenia, to element neutralny oznaczany jest zwyczajowo za pomocą znaku 1 , {\displaystyle 1,} który nazywa się elementem jednostkowym, jednością bądź jedynką.

Innymi często spotykanymi oznaczeniami są litera e {\displaystyle e} oraz I {\displaystyle I} oraz symbole z nimi powiązane.

Przykłady | edytuj kod

element neutralny obustronny
elementy neutralne jednostronne
  • Działaniem posiadającym wyłącznie prawostronny element neutralny jest odejmowanie liczb rzeczywistych, którym jest zero: x R x 0 = x , {\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} }\;x-0=x,}
jednocześnie x R 0 x = x , {\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} }\;0-x=-x,} a zatem zero nie jest elementem neutralnym lewostronnym.
  • Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Niech x y = x y {\displaystyle x\;\diamondsuit \;y=x\cdot \lfloor y\rfloor } będzie działaniem w zbiorze S = { x R : x 1 } , {\displaystyle S=\{x\in \mathbb {R} :x\geqslant 1\},} gdzie {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor } oznacza podłogę (część całkowitą). W tym przypadku każda liczba y < 2 {\displaystyle y<2} jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem S x , y < 2 x y = x y = x 1 = x . {\displaystyle \forall _{S\ni x,y<2}\;x\;\diamondsuit \;y=x\cdot \lfloor y\rfloor =x\cdot 1=x.}
Działanie może nie mieć elementu neutralnego

Własności | edytuj kod

  • Jeżeli działanie ma jednocześnie elementy neutralne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe (jest to oczywiście element neutralny obustronny).
  • Jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym.

Zastosowania | edytuj kod

W definicjach większość ważnych w praktyce struktur algebraicznych takich jak grupy, pierścienie (z jedynką), czy ciała zakłada się istnienie elementów neutralnych. Istnieją jednak ich uogólnienia, jak np. grupoid, półgrupa, czy pierścień (bez aksjomatu jedynki), w których element ten nie musi istnieć.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Element neutralny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy