Element odwrotny


Element odwrotny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.

Niech {\displaystyle \diamondsuit } oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze S . {\displaystyle S.} Element x {\displaystyle x} nazywa się elementem odwrotnym do y {\displaystyle y} jeżeli spełnione są dwa warunki:

  1. x y = e , {\displaystyle x\;\diamondsuit \;y=e,}
  2. y x = e , {\displaystyle y\;\diamondsuit \;x=e,}

gdzie e {\displaystyle e} oznacza element neutralny działania . {\displaystyle \diamondsuit .}

Jeżeli działanie {\displaystyle \diamondsuit } zapisywane jest za pomocą symboli + , , , , {\displaystyle +,\;\oplus ,\;\cup ,\;\lor ,} itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia x . {\displaystyle -x.} Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: , , , , , , {\displaystyle *,\;\cdot ,\;\otimes ,\;\cap ,\;\land ,\;\star ,} itp. i oznaczamy x 1 {\displaystyle x^{-1}}

Elementy jednostronne | edytuj kod

Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek. „Zwykły” element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.

Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.

W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.

Przykłady | edytuj kod

  • Niech {\displaystyle \diamondsuit } będzie dodawaniem liczb rzeczywistych. Elementem odwrotnym do liczby 2 {\displaystyle 2} jest liczba 2. {\displaystyle -2.} Mamy bowiem: 2 + ( 2 ) = 0 {\displaystyle 2+(-2)=0} oraz ( 2 ) + 2 = 0 {\displaystyle (-2)+2=0} (zero jest elementem neutralnym dodawania).
  • Jeżeli {\displaystyle \diamondsuit } jest mnożeniem liczb rzeczywistych, to elementem odwrotnym do liczby 2 {\displaystyle 2} jest liczba 1 2 , {\displaystyle {\tfrac {1}{2}},} bo 2 1 2 = 1 2 2 = 1 {\displaystyle 2\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\cdot 2=1} (jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).

Ostatni przykład pokazuje, że nie każdy element musi mieć element odwrotny – liczba zero nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Element odwrotny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy