Elementy najmniejszy i największy


Elementy najmniejszy i największy w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy najmniejszym, jeśli jest on mniejszy (lub równy) od każdego elementu zbioru:

y P : x y {\displaystyle \forall y\in P:x\leq y}

Podobnie, element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy największym, jeśli jest on większy (lub równy) od każdego elementu zbioru:

y P : y x {\displaystyle \forall y\in P:y\leq x}

Z definicji wynika, że zarówno element największy, jak i najmniejszy są porównywalne z każdym elementem zbioru P.

Nie każdy zbiór częściowo uporządkowany ma element najmniejszy i największy. Np. zbiór liczb naturalnych (bez zera) częściowo uporządkowany relacją podzielności – każda liczba jest „większa” od swych dzielników, tzn. m jest „mniejsze” od n jeśli jest dzielnikiem liczby n: m n m | n {\displaystyle m\preccurlyeq n\iff m|n} – ma element najmniejszy (jest nim liczba 1, która dzieli każdą liczbę naturalną), ale nie ma największego (nie istnieje liczba naturalna, która dzieliłaby się przez każdą inną)[1].
Z drugiej strony zbiór liczb G = { 2 , 3 , 4 , 6 , 24 } {\displaystyle G=\{2,3,4,6,24\}} uporządkowany według tej samej reguły nie ma elementu najmniejszego (brak w nim liczby, przez którą dzieliłaby się liczba 2 i liczba 3), za to ma element największy (jest nim liczba 24, która dzieli się przez każdą z pozostałych liczb zbioru G).

Nawet porządek liniowy nie gwarantuje istnienia elementów najmniejszego i największego, jeśli zbiór jest nieskończony:

  • zbiór liczb { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} z naturalnym porządkiem {\displaystyle \leq } ma oba te elementy: najmniejszym jest 1, największym 3;
  • zbiór liczb naturalnych N = { 1 , 2 , 3 , } {\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\dots \}} ma element najmniejszy (jest nim 1), ale nie ma największego;
  • zbiór liczb całkowitych Z = { , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , } {\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}} nie ma ani elementu najmniejszego ani największego;

aczkolwiek nieskończona moc zbioru nie przesądza o braku elementu najmniejszego lub największego: zbiór

  • Q 1 = Q 0 , 1 {\displaystyle Q_{1}=\mathbb {Q} \cap [0,1]} liczb wymiernych w przedziale domkniętym 0 , 1 {\displaystyle [0,1]}

ma element najmniejszy (zero) i największy (jedność), ale zbiory

  • Q 2 = Q ( 0 , 1 ) {\displaystyle Q_{2}=\mathbb {Q} \cap (0,1)} liczb wymiernych w przedziale otwartym o krańcach wymiernych ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} oraz
  • Q 3 = Q 2 , π {\displaystyle Q_{3}=\mathbb {Q} \cap \left[{\sqrt {2}},\pi \right]} w przedziale o krańcach niewymiernych

elementu najmniejszego ani największego nie mają.

Przykład | edytuj kod

Jednym z typowych przykładów częściowego porządku jest relacja zawierania się zbiorów w dowolnej przestrzeni topologicznej. W tym uporządkowaniu istnieje zarówno element najmniejszy, jak i największy. Elementem najmniejszym jest zbiór pusty, gdyż zbiór pusty zawiera się w każdym podzbiorze przestrzeni. Elementem największym jest cała przestrzeń, gdyż każdy podzbiór przestrzeni zawiera się w tej przestrzeni.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Podobnie zdefiniowany porządek na zbiorze liczb naturalnych z zerem ma tak samo element najmniejszy 1, ale także element największy 0, bowiem zero jest podzielna przez każdą liczbę naturalną.
Na podstawie artykułu: "Elementy najmniejszy i największy" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy