Endomorfizm Frobeniusa


Endomorfizm Frobeniusa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Endomorfizm Frobeniusa – szczególny endomorfizm pierścieni przemiennych o charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą p , {\displaystyle p,} w szczególności ciał. Endomorfizm przekształca każdy element w jego p {\displaystyle p} -tą potęgę. W niektórych okolicznościach endomorfizm ten jest automorfizmem, lecz nie jest to prawdą w ogólności. Nosi on miano od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka.

Definicja | edytuj kod

Niech R {\displaystyle R} będzie pierścieniem przemiennym o (dodatniej) charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą p {\displaystyle p} (charakterystyka zawsze jest liczbą pierwszą, jeżeli pierścień jest przykładowo dziedziną całkowitości). Endomorfizm Frobeniusa F {\displaystyle F} określony jest wzorem

F ( r ) = r p {\displaystyle F(r)=r^{p}}

dla wszystkich elementów r R . {\displaystyle r\in R.} Jest on zgodny z mnożeniem w R , {\displaystyle R,} gdyż

F ( r s ) = ( r s ) p = r p s p = F ( r ) F ( s ) , {\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),}

a ponadto widać, iż F ( 1 ) = 1. {\displaystyle F(1)=1.} Interesujące jest jednak, że jest on również zgodny z dodawaniem w R . {\displaystyle R.} Wyrażenie ( r + s ) p {\displaystyle (r+s)^{p}} można rozwinąć za pomocą twierdzenia o dwumianie: ponieważ p {\displaystyle p} jest liczbą pierwszą, to dzieli ona p ! , {\displaystyle p!,} lecz nie dzieli q ! {\displaystyle q!} dla q < p , {\displaystyle q<p,} skąd wynika, że p {\displaystyle p} będzie dzielić licznik, ale nie mianownik jawnego wzoru na współczynniki dwumienne

p ! k ! ( p k ) ! {\displaystyle {\frac {p!}{k!(p-k)!}}}

dla 1 k p 1. {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant p-1.} Dlatego też współczynniki wszystkich wyrazów poza r p {\displaystyle r^{p}} oraz s p {\displaystyle s^{p}} są podzielne przez p , {\displaystyle p,} które jest charakterystyką, przez co znikają. Zatem

F ( r + s ) = ( r + s ) p = r p + s p = F ( r ) + F ( s ) , {\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s),}

co dowodzi, że F {\displaystyle F} jest homomorfizmem pierścieni.

W ogólności F {\displaystyle F} nie jest automorfizmem. Niech K {\displaystyle K} będzie na ciałem F p ( t ) , {\displaystyle \mathbf {F} _{p}(t),} tzn. ciałem skończonym o p {\displaystyle p} elementach z dołączonym jednym elementem przestępnym t . {\displaystyle t.} Okazuje się, że obraz F {\displaystyle F} nie zawiera t , {\displaystyle t,} co można pokazać przez sprzeczność: niech istnieje taki element K , {\displaystyle K,} którego obrazem w F {\displaystyle F} jest t . {\displaystyle t.} Element ten jest funkcją wymierną q ( t ) r ( t ) , {\displaystyle {\tfrac {q(t)}{r(t)}},} której p {\displaystyle p} -ta potęga ( q ( t ) r ( t ) ) p , {\displaystyle \left({\tfrac {q(t)}{r(t)}}\right)^{p},} wynosi t . {\displaystyle t.} W związku z tym p ( deg q deg r ) = 1 , {\displaystyle p(\deg q-\deg r)=1,} co jest niemożliwe. W ten sposób endomorfizm F {\displaystyle F} nie jest suriektywny, przez co nie jest automorfizmem.

Jest również możliwe, by F {\displaystyle F} nie było iniektywne; dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień R {\displaystyle R} ma element nilpotentny rzędu nie większego niż p . {\displaystyle p.}

Punkty stałe | edytuj kod

Niech R {\displaystyle R} będzie dziedziną całkowitości. Przekształcenie Frobeniusa przekształca na siebie wszystkie elementy R , {\displaystyle R,} które spełniają równość x p = x . {\displaystyle x^{p}=x.} Są to wszystkie pierwiastki równania x p x , {\displaystyle x^{p}-x,} a ponieważ jest ono stopnia p , {\displaystyle p,} to może mieć ono co najwyżej p {\displaystyle p} rozwiązań. Są to dokładnie elementy 0 , 1 , 2 , , p 1. {\displaystyle 0,1,2,\ldots ,p-1.} Wynika stąd, że zbiór punktów stałych F {\displaystyle F} jest ciałem prostym.

Iterowanie odwzorowania Frobeniusa daje ciąg elementów R {\displaystyle R} postaci

x , x p , x p 2 , x p 3 , {\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots }

Przyłożenie e {\displaystyle e} -tej iteracji F {\displaystyle F} do pierścienia zawierającego ciało K {\displaystyle K} o p e {\displaystyle p^{e}} elementach daje, podobnie jak w powyższym przykładzie, zbiór punktów stałych równy K . {\displaystyle K.} Iteracje przekształcenia Frobeniusa wykorzystuje się również do definiowania domknięcia Frobeniusa i domknięcia ciasnego (ang. tight closure) ideału.

Ciała skończone | edytuj kod

Niech F q {\displaystyle \mathbf {F} _{q}} oznacza ciało skończone o q {\displaystyle q} elementach, gdzie q = p e . {\displaystyle q=p^{e}.} Zgodnie z powyższym rozumowaniem F {\displaystyle F} ustala F p . {\displaystyle \mathbf {F} ^{p}.} Jeżeli e = 2 , {\displaystyle e=2,} to F 2 , {\displaystyle F^{2},} druga iteracja przekształcenia Frobeniusa, ustala p 2 {\displaystyle p^{2}} elementów, zatem ustala także F p 2 . {\displaystyle \mathbf {F} ^{p^{2}}.} W ogólności F e {\displaystyle F^{e}} ustala F p e . {\displaystyle \mathbf {F} ^{p^{e}}.} Co więcej, F {\displaystyle F} generuje grupę Galois dowolnego rozszerzenia ciał skończonych.

Schematy | edytuj kod

Korzystając z powyższej obserwacji łatwo rozszerzyć przekształcenie Frobeniusa na schematy. Niech X {\displaystyle X} będzie schematem nad ciałem k {\displaystyle k} charakterystyki p . {\displaystyle p.} Wybierzmy dowolny podzbiór afiniczny U = Spec R {\displaystyle U=\operatorname {Spec} \;R} (zob. spektrum pierścienia). Ponieważ X {\displaystyle X} jest k {\displaystyle k} -schematem, to k {\displaystyle k} zawiera się w R . {\displaystyle R.} Powoduje to, iż R {\displaystyle R} musi być pierścieniem charakterystyki p , {\displaystyle p,} dzięki czemu można zdefiniować endomorfizm Frobeniusa F {\displaystyle F} dla R {\displaystyle R} jak wyżej. Przekształcenie F {\displaystyle F} komutuje z lokalizacją, przez co F {\displaystyle F} skleja się dając endomorfizm X . {\displaystyle X.}

Jednakże F {\displaystyle F} nie musi być endomorfizmem k {\displaystyle k} -schematów. Jeżeli k {\displaystyle k} nie jest F p , {\displaystyle \mathbf {F} ^{p},} to F {\displaystyle F} nie ustali k {\displaystyle k} i w konsekwencji nie będzie przekształceniem k {\displaystyle k} -algebr. Częściowym rozwiązaniem tego problemu jest zwrócenie uwagi na zawieranie F ( k ) = k p {\displaystyle F(k)=k^{p}} w k : {\displaystyle k{:}} ponieważ X {\displaystyle X} jest k {\displaystyle k} -schematem, to jest także k p {\displaystyle k^{p}} -schematem. W ten sposób F {\displaystyle F} jest także odwzorowaniem k p {\displaystyle k^{p}} -schematów.

Ciała lokalne | edytuj kod

Definicja F {\displaystyle F} dla schematów automatycznie przenosi się na definicje dla ciał lokalnych i globalnych, jednak ze względu na jasność opisu przypadki te zostaną potraktowane osobno.

Definicję endomorfizmu Frobeniusa dla ciał skończonych można rozszerzyć na inne rodzaje rozszerzeń ciał. Dla nierozgałęzionego rozszerzenia skończonego L / K {\displaystyle L/K} ciał lokalnych istnieje pojęcie endomorfizmu Frobieniusa, które indukuje endomorfizm Frobeniusa na odpowiadającym rozszerzeniu ciał reszt.

Niech L / K {\displaystyle L/K} będzie nierozgałęzionym rozszerzeniem ciał lokalnych wraz z pierścieniem liczb całkowitych O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} ciała K {\displaystyle K} takim, że ciało reszt – liczby całkowite K {\displaystyle K} modulo ich jednoznacznie określony ideał maksymalny φ {\displaystyle \varphi } – jest ciałem skończonym rzędu q . {\displaystyle q.} Jeżeli Φ {\displaystyle \Phi } jest ideałem pierwszym L {\displaystyle L} nad φ , {\displaystyle \varphi ,} to nierozgałęzienie L / K {\displaystyle L/K} oznacza, że liczby całkowite ciała L {\displaystyle L} modulo Φ , {\displaystyle \Phi ,} ciała reszt L , {\displaystyle L,} jest ciałem skończonym rzędu q f {\displaystyle q^{f}} stanowiącym rozszerzenie ciała reszt K , {\displaystyle K,} gdzie f {\displaystyle f} oznacza stopień L / K . {\displaystyle L/K.} Przekształcenie Frobeniusa można zdefiniować dla elementów pierścienia liczb całkowitych O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} ciała L {\displaystyle L} wzorem

s Φ ( x ) x q mod Φ . {\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi .}

Ciała globalne | edytuj kod

W algebraicznej teorii liczb elementy Frobeniusa są zdefiniowane dla rozszerzeń L / K {\displaystyle L/K} ciał globalnych, które są skończonymi rozszerzeniami Galois dla ideałów pierwszych Φ {\displaystyle \Phi } ciała L {\displaystyle L} nierozgałęzionych w L / K . {\displaystyle L/K.} Ponieważ rozszerzenie jest nierozgałęzione, to grupa rozkładu Φ {\displaystyle \Phi } jest grupą Galois rozszerzenia ciał reszt. Element Frobeniusa może być określony dla elementów pierścienia liczb całkowitych L , {\displaystyle L,} jak w przypadku lokalnym, wzorem

s Φ ( x ) x q mod Φ , {\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi ,}

gdzie q {\displaystyle q} jest rzędem ciała rozkładu O K mod Φ . {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\mod \Phi .}

Podniesienia endomorfizmów Frobeniusa są związane z p-pochodnymi.

Przykłady | edytuj kod

Wielomian x 5 x 1 {\displaystyle x^{5}-x-1} ma wyróżnik równy 15 151 , {\displaystyle 15\cdot 151,} jest więc nierozgałęziony dla liczby pierwszej 3 ; {\displaystyle 3;} jest także nierozkładalny modulo 3. {\displaystyle 3.} Dlatego dołączenie jego pierwiastka ρ {\displaystyle \rho } do ciała liczb 3 {\displaystyle 3} -adycznych Q 3 {\displaystyle \mathbb {Q} _{3}} daje nierozgałęzione rozszerzenie Q 3 ( ρ ) {\displaystyle \mathbb {Q} _{3}(\rho )} ciała Q 3 . {\displaystyle \mathbb {Q} _{3}.} Można znaleźć obraz ρ {\displaystyle \rho } w przekształceniu Frobeniusa poprzez wskazanie pierwiastka najbliższego ρ 3 . {\displaystyle \rho ^{3}.} co można osiągnąć metodą Newtona. W ten sposób uzyskuje się element pierścienia liczb całkowitych Z 3 ρ ; {\displaystyle \mathbb {Z} _{3}[\rho ];} jest to wielomian czwartego stopnia względem ρ {\displaystyle \rho } o współczynnikach będących 3 {\displaystyle 3} -adycznymi liczbami całkowitymi Z 3 . {\displaystyle \mathbb {Z} _{3}.} Wielomianem tym, modulo 3 8 , {\displaystyle 3^{8},} jest

ρ 3 + 3 ( 460 + 183 ρ 354 ρ 2 979 ρ 3 575 ρ 4 ) . {\displaystyle \rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4}).}

Jest on algebraiczny nad Q {\displaystyle \mathbb {Q} } i jest poprawnym obrazem endomorfizmu Frobeniusa w sensie zanurzenia Q {\displaystyle \mathbb {Q} } w Q 3 ; {\displaystyle \mathbb {Q} _{3};} co więcej algebraiczne są współczynniki, dlatego wynik może być wyrażony algebraicznie. Jednakże są one stopnia 120 , {\displaystyle 120,} rzędu grupy Galois, co ilustruje fakt, iż obliczenia będą prostsze, jeżeli wystarczające będą wyniki p {\displaystyle p} -adyczne.

Jeżeli L / K {\displaystyle L/K} jest rozszerzeniem abelowym ciał globalnych, to można uzyskać o wiele silniejsze przystawanie, ponieważ zależy ona tylko od elementu pierwszego φ {\displaystyle \varphi } wyjściowego ciała K . {\displaystyle K.} Rozważając przykładowo rozszerzenie Q ( β ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\beta )} ciała Q {\displaystyle \mathbb {Q} } uzyskanego przez dołączenie pierwiastka β {\displaystyle \beta } spełniającego

β 5 + β 4 4 β 3 3 β 2 + 3 β + 1 = 0 {\displaystyle \beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0}

do Q {\displaystyle \mathbb {Q} } widać, iż rozszerzenie to jest cykliczne rzędu piątego i ma pierwiastki

2 cos 2 π n 11 , {\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}},}

gdzie n {\displaystyle n} jest liczbą całkowitą. Ma ono pierwiastki będące wielomianami Czebyszewa zmiennej β : {\displaystyle \beta {:}}

β 2 2 , β 3 3 β , β 5 5 β 3 + 5 β {\displaystyle \beta ^{2}-2,\;\beta ^{3}-3\beta ,\;\beta ^{5}-5\beta ^{3}+5\beta }

są wynikami przekształcenia Frobeniusa dla liczb pierwszych 2 , 3 , 5 {\displaystyle 2,3,5} i tak dalej, dla większych liczb pierwszych różnych od 11 {\displaystyle 11} lub postaci 22 n + 1 {\displaystyle 22n+1} (które to są rozdzielcze). Widać wprost jak przekształcenie Frobeniusa daje wynik z dokładnością modulo p {\displaystyle p} dla p {\displaystyle p} -tej potęgi pierwiastka β . {\displaystyle \beta .}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Endomorfizm Frobeniusa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy