Epimorfizm


Epimorfizm w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Diagram przemienny epimorfizmu

Epimorfizm – w teorii kategorii, morfizm f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} mający prawostronną własność skracania, tj. dla wszystkich morfizmów g 1 , g 2 : Y Z {\displaystyle g_{1},g_{2}\colon Y\to Z} spełniony jest warunek

g 1 f = g 2 f g 1 = g 2 {\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\Rightarrow g_{1}=g_{2}} [1].

Epimorfizmy są odpowiednikami funkcji „na”, lecz nie są one z nimi tożsame. Pojęciem dualnym do epimorfizmu jest monomorfizm.

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje epimorfizm jako homomorfizm „na” (surjektywny). Każdy epimorfizm w tym sensie algebraicznym jest epimorfizmem w sensie teorii kategorii, ale nie jest to prawdą we wszystkich kategoriach.

Spis treści

Epimorfizm konormalny | edytuj kod

Jeśli dany epimorfizm jest kojądrem jakiegoś morfizmu, to nazywany jest on wówczas epimorfizmem konormalnym[2].

Jeśli każdy epimorfizm danej kategorii jest epimorfizmem konormalnym, to nazywa się kategorią konormalną. Każda z kategorii Gr, Ab, Vect jest konormalna. Kojądro w tych kategoriach istnieje dla każdego morfizmu

α : A B . {\displaystyle \alpha \colon A\to B.}

Jest ono równe grupie ilorazowej B / G , {\displaystyle B/G,} gdzie G {\displaystyle G} jest najmniejszą podgrupą normalną zawierającą α ( A ) . {\displaystyle \alpha (A).}

Przykłady | edytuj kod

  • Epimorfizmami w kategorii Set są odwzorowania „na”.
Niech f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} będzie epimorfizmem, a jednocześnie istnieje taki y 0 Y f ( X ) . {\displaystyle y_{0}\in Y\setminus f(X).} Niech y 1 f ( X ) . {\displaystyle y_{1}\in f(X).} Niech Z = { y 0 , y 1 } {\displaystyle Z=\{y_{0},y_{1}\}} oraz g 0 ( y ) = y 0 {\displaystyle g_{0}(y)=y_{0}} dla y Y , {\displaystyle y\in Y,} g 1 ( y ) = { y 0 , y f ( Y ) y 1 , y f ( Y ) . {\displaystyle g_{1}(y)={\begin{cases}y_{0},&y\in f(Y)\\y_{1},&y\notin f(Y)\end{cases}}.} Wtedy g 0 f = g 1 f {\displaystyle g_{0}f=g_{1}f} i g 0 g 1 , {\displaystyle g_{0}\neq g_{1},} co jest sprzeczne z tym, że f {\displaystyle f} jest epimorfizmem. Zatem nie istnieje y 0 Y f ( X ) {\displaystyle y_{0}\in Y\setminus f(X)} i funkcja f {\displaystyle f} jest „na”.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 49.
  2. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 250.

Bibliografia | edytuj kod

  • Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  • Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
  • Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].
Na podstawie artykułu: "Epimorfizm" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy