Forma Killinga


Forma Killinga w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Forma Killingasymetryczna forma dwuliniowa, która odgrywa fundamentalną rolę w teorii grup Liego i algebr Liego. Nazwa pochodzi od Wilhelma Killinga.

Definicja | edytuj kod

Rozważmy algebrę Liego nad polem skalarnym K . {\displaystyle K.} Z każdym elementem x {\displaystyle x} algebry można powiązać sprzężony endomorfizm a d ( x ) {\displaystyle ad(x)} (zapisywany też symbolem a d x {\displaystyle ad_{x}} ), przypisujący danemu elementowi y {\displaystyle y} algebry wartość nawiasu Liego elementu x {\displaystyle x} elementem y , {\displaystyle y,} tj.

ad ( x ) ( y ) = x , y . {\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].}

Jeżeli grupa jest skończenie wymiarowa, to ślad złożenia dwóch endomorfizmów jest nazywany formą Killinga algebry Liego

B ( x , y ) = trace ( ad ( x ) ad ( y ) ) . {\displaystyle B(x,y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y)).}

Forma Killinga jest formą biliniową symetryczną.

Elementy macierzowe formy | edytuj kod

Niech T j {\displaystyle T^{j}} oznaczają elementy bazy algebry Liego. Wtedy elementy macierzowe formy Killinga są dane wzorem

B i j = t r ( a d ( T i ) a d ( T j ) ) / I a d , {\displaystyle B^{ij}=\mathrm {tr} (\mathrm {ad} (T^{i})\circ \mathrm {ad} (T^{j}))/I_{ad},}

gdzie I a d {\displaystyle I_{ad}} indeks Dynkina reprezentacji algebry sprzężonej. Przy czym mamy ( ad ( T i ) ad ( T j ) ) ( T k ) = T i , T j , T k = T i , f j k m T m = f i m n f j k m T n {\displaystyle \left({\textrm {ad}}(T^{i})\circ {\textrm {ad}}(T^{j})\right)(T^{k})=[T^{i},[T^{j},T^{k}]]=[T^{i},{f^{jk}}_{m}T^{m}]={f^{im}}_{n}{f^{jk}}_{m}T^{n}}

– w powyższym wzorze zastosowano konwencję sumacyjną Einsteina po powtarzających się indeksach; f k i k {\displaystyle f_{k}^{ik}} – stałe struktury algebry Liego. Liczba k {\displaystyle k} indeksuje kolumny, zaś indeks n {\displaystyle n} indeksuje rzędy macierzy a d ( T i ) a d ( T j ) . {\displaystyle [\mathrm {ad} (T^{i})\mathrm {ad} (T^{j})].} Obliczenie śladu polega na sumowaniu wyrazów o indeksach k = j {\displaystyle k=j} dlatego forma przyjmuje postać

B i j = 1 I a d f i m n f j n m . {\displaystyle B^{ij}={\frac {1}{I_{ad}}}{f^{im}}_{n}{f^{jn}}_{m}.}

Forma Killinga jest najprostszym tensorem 2 rzędu, który można utworzyć ze stałych struktury.

Uwaga:

W powyższej definicji trzeba odróżnić indeksy dolne od górnych, ponieważ forma Killinga może być użyta do definicji tensora metrycznego rozmaitości, a wtedy istotne staje się to odróżnienie ze względy na inne reguły transformacji indeksu górnego od indeksu dolnego tensora.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Forma Killinga" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy