Forma różniczkowa


Forma różniczkowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. Rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany w fizyce do całkowania pracy, strumieni pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzących przez powierzchnię, potencjałów pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.

W dalszej części artykułu niech k {\displaystyle k} będzie ustaloną liczbą naturalną (wymiarem przestrzeni dla której definiowane będą formy) oraz niech P {\displaystyle P} będzie ustalonym domkniętym (zwartym) przedziałem wielowymiarowym w przestrzeni R k . {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}

Spis treści

Definicja | edytuj kod

k-płatem klasy C r {\displaystyle C_{r}} (ang. singular cube of k dimensions) w zbiorze Ω R k {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{k}} nazywa się funkcję różniczkowalną s k : P Ω {\displaystyle s_{k}\colon P\to \Omega } klasy C r , {\displaystyle C_{r},} r 0. {\displaystyle r\geqslant 0.} W przypadku, gdy k = 0 , {\displaystyle k=0,} to za s k {\displaystyle s_{k}} przyjmuje się punkt w zbiorze Ω . {\displaystyle \Omega .} Wygodnie jest dokonywać utożsamienia s k = ( P , Φ ) , {\displaystyle s_{k}=(P,\Phi ),} tzn. traktować s k {\displaystyle s_{k}} jako parę złożoną ze zbioru argumentów P {\displaystyle P} oraz odwzorowania Φ {\displaystyle \Phi } klasy C r {\displaystyle C_{r}} pewnego otoczenia otwartego zbioru P {\displaystyle P} (utożsamienie to nawiązuje do procesu parametryzacji krzywej na płaszczyźnie czy w przestrzeni).

Niech n k {\displaystyle n\geqslant k} będzie liczbą naturalną oraz a i 1 , , i k {\displaystyle a_{i_{1},\dots ,i_{k}}} będą funkcjami klasy C p {\displaystyle C^{p}} zmiennej x R n . {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.} W przypadku, gdy k = 0 {\displaystyle k=0} zdefiniujemy

ω = a 0 ( x ) . {\displaystyle \omega =a_{0}(x).}

Ponadto, niech s k = ( P , Φ ) {\displaystyle s_{k}=(P,\Phi )} będzie k {\displaystyle k} -płatem w Ω R n . {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}.} Formą różniczkową (rzędu k {\displaystyle k} albo k-formą) postaci

ω = i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 , , i k ( x ) d x i 1 d x i 2 d x i k ( ) {\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{k}=1}^{n}a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\qquad \qquad (*)}

nazywa się funkcję ω , {\displaystyle \omega ,} która płatowi s k {\displaystyle s_{k}} przyporządkowuje liczbę

s k , ω = i 1 = 1 n i k = 1 n P a i 1 , , i k ( Φ ( t ) ) det x i p t m p , m = 1 , , k λ k ( d t ) , {\displaystyle \langle s_{k},\omega \rangle =\sum _{i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{k}=1}^{n}\int \limits _{P}a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(\Phi (t))\cdot \det \left[{\frac {\partial x_{i_{p}}}{\partial t^{m}}}\right]_{p,m=1,\dots ,k}\lambda ^{k}(dt),}

gdzie λ k {\displaystyle \lambda ^{k}} oznacza miarę Lebesgue’a w przestrzeni R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} oraz t = ( t 1 , , t k ) . {\displaystyle t=(t_{1},\dots ,t_{k}).} Wzór ( ) {\displaystyle (*)} można przedstawić w niesłychanie przejrzysty sposób za pomocą konwencji sumacyjnej Einsteina:

ω = a i 1 , , i k ( x )     d x i 1 d x i k . {\displaystyle \omega =a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(x)\ \ dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}

Oznaczając krótko I = ( i 1 , , i k ) , {\displaystyle I=(i_{1},\dots ,i_{k}),} gdzie 0 i m n {\displaystyle 0\leqslant i_{m}\leqslant n} oraz d x I := d x i 1 d x i k , {\displaystyle dx_{I}:=dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}},} formy różniczkowe można zapisywać krótko w postaci

ω = I a I ( x ) d x I . {\displaystyle \omega =\sum _{I}a_{I}(x)\,dx_{I}.}

Liczbę s k , ω {\displaystyle \langle s_{k},\omega \rangle } oznacza się krótko symbolem

Φ ω {\displaystyle \int \limits _{\Phi }\omega }

i nazywa całką z formy ω {\displaystyle \omega } względem Φ . {\displaystyle \Phi .} W przypadku, gdy k = 1 {\displaystyle k=1} całkę tę nazywa się po prostu całką krzywoliniową. Formy różniczkowe są funkcjami w zbiorze płatów, a więc można punktowo wprowadzić działania dodawania i mnożenia przez skalar form różniczkowych; innymi słowy rodzina form różniczkowych (przy ustalonych k {\displaystyle k} i n {\displaystyle n} ) tworzy przestrzeń liniową.

Przykład | edytuj kod

Niech γ {\displaystyle \gamma } będzie taką krzywą klasy C 1 {\displaystyle C_{1}} na płaszczyźnie, że

γ = { ( γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) ) : 0 t 1 } {\displaystyle \gamma =\{(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))\colon \,0\leqslant t\leqslant 1\}}

oraz niech dana będzie forma ω = x d y + y d x . {\displaystyle \omega =xdy+ydx.} Wówczas

γ ω = 0 1 γ 1 ( t ) γ 2 ( t ) + γ 2 ( t ) γ 1 ( t ) d t = γ 1 ( 1 ) γ 2 ( 1 ) γ 1 ( 0 ) γ 2 ( 0 ) . {\displaystyle \int \limits _{\gamma }\omega =\int _{0}^{1}[\gamma _{1}(t)\gamma _{2}'(t)+\gamma _{2}(t)\gamma _{1}'(t)]dt=\gamma _{1}(1)\gamma _{2}(1)-\gamma _{1}(0)\gamma _{2}(0).}

Wartość całki krzywoliniowej w powyższym przypadku nie zależy od kształtu krzywej, a jedynie od jej punktów końcowych. W szczególności, całka po krzywej zamkniętej zeruje się.

Podstawowe własności | edytuj kod

  • Wyrażenie d x i 1 d x i k {\displaystyle dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}} zmienia znak na przeciwny przy zamianie sąsiednich symboli d x i m {\displaystyle dx_{i_{m}}} i d x i m + 1 . {\displaystyle dx_{i_{m+1}}.}
  • Każdą formę różniczkową można sprowadzić do postaci kanonicznej, tzn. takiej postaci, że funkcje a i 1 , , i k {\displaystyle a_{i_{1},\dots ,i_{k}}} są, być może, różne od zera tylko dla i 1 < i 2 < < i k . {\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}.} Bezpośrednią konsekwencją tego faktu jest warunek równości dwu form – dwie formy różniczkowe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współczynniki w ich postaciach kanonicznych są równe. Ponadto, dla k > n {\displaystyle k>n} każda forma ω {\displaystyle \omega } postaci jak wyżej jest równa zeru.

Iloczyn zewnętrzny form. Algebra zewnętrzna | edytuj kod

Jeżeli ω {\displaystyle \omega } i η {\displaystyle \eta } są, odpowiednio, k - {\displaystyle k{\text{-}}} i m {\displaystyle m} -formami postaci

ω = I a I d x I , η = J b J d x J , {\displaystyle \omega =\sum _{I}a_{I}dx_{I},\quad \eta =\sum _{J}b_{J}dx_{J},}

to można wprowadzić tzw. iloczyn zewnętrzny form ω {\displaystyle \omega } i η , {\displaystyle \eta ,} tzn. ( k + m ) {\displaystyle (k+m)} -formę ω η {\displaystyle \omega \wedge \eta } daną wzorem

ω η = I , J a i 1 , , i k b j 1 , , j m d x i 1 d x i k d x j 1 d x j m . {\displaystyle \omega \wedge \eta =\sum _{I,J}a_{i_{1},\dots ,i_{k}}b_{j_{1},\dots ,j_{m}}dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\wedge dx_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{m}}.}

Iloczyn zewnętrzny ma następujące własności:

  • ( ω 1 ω 2 ) ω 3 = ω 1 ( ω 2 ω 3 ) , {\displaystyle (\omega _{1}\wedge \omega _{2})\wedge \omega _{3}=\omega _{1}\wedge (\omega _{2}\wedge \omega _{3}),}
  • ( ω 1 + ω 2 ) ω 3 = ω 1 ω 3 + ω 2 ω 3 , {\displaystyle (\omega _{1}+\omega _{2})\wedge \omega _{3}=\omega _{1}\wedge \omega _{3}+\omega _{2}\wedge \omega _{3},}
  • Jeżeli ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} jest k {\displaystyle k} -formą, ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} jest m {\displaystyle m} -formą, to
ω 1 ω 2 = ( 1 ) k m ( ω 2 ω 1 ) . {\displaystyle \omega _{1}\wedge \omega _{2}=(-1)^{km}(\omega _{2}\wedge \omega _{1}).}

Niech symbol υ k ( Ω ) {\displaystyle \upsilon _{k}(\Omega )} oznacza zbiór wszystkich k {\displaystyle k} -form na Ω {\displaystyle \Omega } klasy C {\displaystyle C^{\infty }} oraz

υ ( Ω ) = k = 0 n υ k ( Ω ) . {\displaystyle \upsilon (\Omega )=\bigcup _{k=0}^{n}\upsilon _{k}(\Omega ).}

Oczywiście υ k ( Ω ) = { 0 } {\displaystyle \upsilon _{k}(\Omega )=\{0\}} dla k > n . {\displaystyle k>n.} υ ( Ω ) {\displaystyle \upsilon (\Omega )} jest domknięty na dodawanie i mnożenie przez skalary (tworzy przestrzeń liniową wymiaru 2 n {\displaystyle 2^{n}} ). Ponadto, jest on domknięty na operację iloczynu zewnętrznego form wraz z którym tworzy algebrę, nazywaną algebrą zewnętrzną.

Różniczka zewnętrzna formy | edytuj kod

 Zobacz też: różniczka zupełnaforma Pfaffa.

Jeżeli ω {\displaystyle \omega } jest 0 {\displaystyle 0} -formą klasy C {\displaystyle C^{\infty }} na Ω , {\displaystyle \Omega ,} tzn. ω = a , {\displaystyle \omega =a,} gdzie a {\displaystyle a} jest funkcją klasy C {\displaystyle C^{\infty }} na Ω , {\displaystyle \Omega ,} to jej różniczką zewnętrzną (nazywaną również różniczką zupełną) nazywa się 1-formę postaci

d ω ( x ) = i = 1 n a ( x ) x i d x i . {\displaystyle d\omega (x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial a(x)}{\partial x_{i}}}dx_{i}.}

Jeżeli natomiast ω {\displaystyle \omega } jest k {\displaystyle k} -formą ( k > 0 ) {\displaystyle (k>0)} postaci

ω = I a I d x I , {\displaystyle \omega =\sum _{I}a_{I}dx_{I},}

to jej różniczką zewnętrzną nazywa się ( k + 1 ) {\displaystyle (k+1)} -formę postaci

d ω = I ( d a I ) d x I . . {\displaystyle d\omega =\sum _{I}(da_{I})\wedge dx_{I}..}

Na mocy powyższego, operator różniczkowania zewnętrznego form jest odwzorowaniem d : υ k ( Ω ) υ k + 1 ( Ω ) . {\displaystyle d\colon \upsilon _{k}(\Omega )\to \upsilon _{k+1}(\Omega ).} Operacja ta ma ponadto, następujące własności:

  • jeżeli ω {\displaystyle \omega } jest k {\displaystyle k} -formą, η {\displaystyle \eta } jest l {\displaystyle l} -formą, to
d ( ω η ) = d ω η + ( 1 ) k ω d η , {\displaystyle d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge d\eta ,}
  • jeżeli ω υ ( Ω ) , {\displaystyle \omega \in \upsilon (\Omega ),} to d 2 ω = d ( d ω ) = 0. {\displaystyle d^{2}\omega =d(d\omega )=0.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Forma różniczkowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy