Funkcja π


Funkcja π w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja πfunkcja używana w teorii liczb[1][2].

Dla danej liczby rzeczywistej x , {\displaystyle x,} wartość π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} jest liczbą liczb pierwszych nie większych od x {\displaystyle x} [1][2].

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych[1].

Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych

Właściwości[1] | edytuj kod

Niektóre z nierówności dotyczących funkcji π to:

  • π ( x ) > x ln x {\displaystyle \pi (x)>{\frac {x}{\ln x}}} dla x 17. {\displaystyle x\geqslant 17.}

Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż x ln ( x ) {\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}} jest przybliżeniem wartości funkcji

  • π ( x ) < 1,255 06 x ln x {\displaystyle \pi (x)<1{,}25506{\frac {x}{\ln x}}} dla x > 1 , {\displaystyle x>1,}
  • x ln x + 2 < π ( x ) < x ln x 4 {\displaystyle {\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}} dla x 55. {\displaystyle x\geqslant 55.}

Ponadto:

  • lim x π ( x ) x / ln ( x ) = 1 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}
  • lim x π ( x ) / li ( x ) = 1 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1,}

gdzie li {\displaystyle \operatorname {li} } jest logarytmem całkowym.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d Eric W. Weisstein, „Prime Counting Function” na MathWorld.
  2. a b Prime counting function: Primary definition, functions.wolfram.com [dostęp 2017-10-13] .
Na podstawie artykułu: "Funkcja π" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy