Funkcja „na”


Funkcja „na” w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania W surjekcji każdemu elementowi przeciwdziedziny odpowiada co najmniej jeden element dziedziny

Funkcja „na” a. surjekcja[1] a. suriekcja[2][3]funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny, tj. której obraz jest równy przeciwdziedzinie.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} oraz Y {\displaystyle Y} będą dowolnymi zbiorami. Funkcja f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} odwzorowuje zbiór X {\displaystyle X} na zbiór Y {\displaystyle Y} wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru Y {\displaystyle Y} jest wartością funkcji w pewnym punkcie,

y Y x X f ( x ) = y , {\displaystyle \forall {y\in Y}\;\exists {x\in X}\;f(x)=y,}

co oznacza się często jako f : X n a Y {\displaystyle f\colon X{\xrightarrow {na}}Y} lub f : X n a   Y . {\displaystyle f\colon X{\xrightarrow[{na}]{\ }}Y.}

Warunkiem równoważnym jest pokrywanie się przeciwdziedziny z obrazem dziedziny, f ( X ) = Y , {\displaystyle f(X)=Y,} inaczej Im f = Y . {\displaystyle \operatorname {Im} f=Y.}

Uwaga | edytuj kod

Wybór przeciwdziedziny decyduje o surjektywności lub jej braku. Przyjrzyjmy się następującym funkcjom:

f 1 : R R {\displaystyle f_{1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } określonej wzorem f 1 ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{1}(x)=x^{2}} oraz f 2 : R 0 , ) {\displaystyle f_{2}\colon \mathbb {R} \to [0,\infty )} określonej wzorem f 2 ( x ) = x 2 . {\displaystyle f_{2}(x)=x^{2}.}

Tylko druga z powyższych funkcji jest surjekcją, mimo że są one określone tym samym wzorem.

Zauważmy ponadto, że dowolna funkcja jest surjekcją, jeśli jako zbiór Y {\displaystyle Y} przyjmiemy zbiór jej wartości.

Przykłady | edytuj kod

Niech x R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } będzie zmienną rzeczywistą, wówczas poniższe funkcje są surjekcjami:

  • f : x 1 x {\displaystyle f\colon x\mapsto {\tfrac {1}{x}}} dla x 0 {\displaystyle x\neq 0} na R { 0 } , {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\},}
  • f : x x a {\displaystyle f\colon x\mapsto x^{a}} dla a { 2 n + 1 : n N } {\displaystyle a\in \{2n+1\colon n\in \mathbb {N} \}} na R , {\displaystyle \mathbb {R} ,}
  • f : x ln x {\displaystyle f\colon x\mapsto \ln x} dla x > 0 {\displaystyle x>0} na R , {\displaystyle \mathbb {R} ,}
  • f : x tg x {\displaystyle f\colon x\mapsto \operatorname {tg} \;x} dla x { ( π 2 + k π , π 2 + k π ) : k Z } {\displaystyle x\in \bigcup \{(-{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi )\colon k\in \mathbb {Z} \}} na R , {\displaystyle \mathbb {R} ,}
  • f : R n a Z , f ( x ) = x , {\displaystyle f\colon \mathbb {R} {\overset {\mathrm {na} }{\mapsto }}\mathbb {Z} ,\quad f(x)=\lceil x\rceil ,}
  • f : R n a { 1 } , f ( x ) = 1. {\displaystyle f\colon \mathbb {R} {\overset {\mathrm {na} }{\mapsto }}\{1\},\quad f(x)=1.}

Pisownia | edytuj kod

Słowo surjekcja tradycyjnie bywa pisane przez j, tę wersję jako jedyną dopuszczalną podaje słownik języka polskiego PWN[4]. Zasady pisowni polskiej w ogólnych przypadkach nakazują jednak stosowanie j po innych spółgłoskach niż c, s i z w wypadku, gdy przedrostek jest zakończony spółgłoską, a rdzeń zaczyna się od j; np. podjazd, nadjechał, zjawa czy rozjaśnić. W pozostałych wypadkach pisze się i. Z tego powodu dopuszczalna i przez niektórych stosowana jest pisownia suriekcja i iniekcja przez i. Jest to jednak termin fachowy, pochodzenia obcego, gdzie można stosować inne reguły i matematycy przeważnie używają pisowni surjekcja oraz injekcja przez j. Językoznawcy często uznają uzus obowiązujący wśród specjalistów posługujących się tym pojęciem. Oni zaś stosują obydwie formy, zarówno surjekcja (częściej), jak i suriekcja.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. surjekcja, Encyklopedia PWN [dostęp 2017-11-23] [zarchiwizowane z adresu 2010-01-28]  (pol.).
  2. surjekcja czy suriekcja?, Poradnia językowa PWN .
  3. Logika i teoria mnogości/Wykład 6: Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha.
  4. surjekcja - Encyklopedia PWN - źródło wiarygodnej i rzetelnej wiedzy, encyklopedia.pwn.pl [dostęp 2017-11-23] [zarchiwizowane z adresu 2010-01-28]  (pol.).

Bibliografia | edytuj kod

  • Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Analiza matematyczna 1 : definicje, twierdzenia, wzory. Wyd. XI zmienione. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2001, s. 18. ISBN 83-85941-82-7.
Na podstawie artykułu: "Funkcja „na”" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy