Funkcja Greena


Funkcja Greena w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja Greena, propagatorfunkcja stanowiąca jądro operatora całkowego, będącego odwrotnym do operatora różniczkowego w zwyczajnym bądź cząstkowym równaniu różniczkowym wraz z warunkami początkowymi lub brzegowymi.

Formalizm funkcji Greena pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do analogicznego problemu rozwiązania równania całkowego.

Funkcje nazwane są na cześć angielskiego matematyka i fizyka, George’a Greena.

Spis treści

Funkcje Greena w mechanice kwantowej | edytuj kod

Szczególna rolę funkcje Greena odgrywają w mechanice kwantowej układów wielu cząstek i kwantowej mechanice statystycznej. Stanowią one standardowe narzędzie teorii układów wielu cząstek. Ich szczególna rola wynika stąd, że istnieją bezpośrednie relacje pomiędzy funkcjami Greena a wartościami mierzalnymi w eksperymentach, czyli wielkości obserwowane w doświadczeniach bardzo często stanowią prostą kombinację funkcji Greena.

Funkcje Greena stosowane w fizyce nazywa się często funkcjami korelacji.

Rodzaje jednocząstkowych funkcji Greena | edytuj kod

Wyróżnia się następujące typy funkcji:

  • funkcja kauzalna (przyczynowa) i G = T ( c 1 c 2 ) , {\displaystyle iG=\langle \langle \mathrm {T} (c_{1}c_{2}^{\dagger })\rangle \rangle ,}
  • funkcja antykauzalna i G = T ~ ( c 1 c 2 ) , {\displaystyle iG=\langle \langle \mathrm {{\tilde {T}}(c_{1}c_{2}^{\dagger })} \rangle \rangle ,}
  • funkcja retardowana G = i Θ ( t ) c 1 , c 2 ± , {\displaystyle G=i\Theta (t)\langle \langle [c_{1},c_{2}^{\dagger }]_{\pm }\rangle \rangle ,}
  • funkcja adwansowana G = i Θ ( t ) c 1 , c 2 ± , {\displaystyle G=-i\Theta (-t)\langle \langle [c_{1},c_{2}^{\dagger }]_{\pm }\rangle \rangle ,}
  • funkcja (określana czasem jako G większe) i G > = c 1 c 2 , {\displaystyle iG^{>}=\langle \langle c_{1}c_{2}^{\dagger }\rangle \rangle ,}
  • funkcja (określana czasem jako G mniejsze) i G < = c 1 c 2 . {\displaystyle iG^{<}=\langle \langle c_{1}^{\dagger }c_{2}\rangle \rangle .}

W powyższych wzorach operator T {\displaystyle \mathrm {T} } oznacza uporządkowanie chronologiczne operatorów, T ~ {\displaystyle {\tilde {\mathrm {T} }}} oznacza uporządkowanie antychronologiczne, operatory c 1 , c 2 {\displaystyle c_{1}^{\dagger },c_{2}} oznaczają zależne od czasu operatory kreacji i anihilacji cząstek (przy czym indeks 1,2 oznacza zależność od położenia lub pędu oraz czasu), czas w funkcjach retardowanej i adwansowanej t = t 1 t 2 , {\displaystyle t=t_{1}-t_{2},} nawias . , . ± {\displaystyle [.,.]_{\pm }} oznacza antykomutator/komutator odpowiednio dla fermionów/bozonów, natomiast . {\displaystyle \langle \langle .\rangle \rangle } jest wartością oczekiwaną, bądź odpowiednią dla rozważanego zagadnienia kwantową suma termodynamiczna.

Powyższe definicje nie są jedynymi możliwymi. Istnieje dużo konwencji, a przykłady te służą jedynie pokazaniu podstawowych różnic pomiędzy różnymi typami funkcji Greena.

Formalizm Matsubary dla funkcji Greena | edytuj kod

Dla skończenietemperaturowych funkcji Greena (czyli dla układów, w których temperatury są nierówne zero) wprowadza się formalizm Matsubary. Funkcje Greena w skończonych temperaturach są kwantowymi średnimi termodynamicznymi, w których występuje dodatkowy czynnik exp ( β H ^ ) , {\displaystyle \exp(-\beta {\hat {H}}),} gdzie β = 1 k B T , {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}},} k B {\displaystyle k_{B}} jest stałą Boltzmana, T {\displaystyle T} temperaturą H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} hamiltonianem układu. Nie jest to jedyne miejsce, gdzie występuje operator H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} – jest on także obecny w ewolucji czasowej operatorów kreacji i anihilacji (czynnik exp ( ± i H ^ ) {\displaystyle \exp(\pm i{\hat {H}})} ). Przy iloczynie tych czynników można byłoby je połączyć przyjmując, że

  1. β {\displaystyle \beta } jest urojona i mamy do czynienia z ewolucją (poza zwykłą ewolucją czasową) dodatkową ewolucją w urojonym czasie o długości β ; {\displaystyle \beta ;}
  2. traktujemy czas jako urojoną temperaturę ( t = i τ ) . {\displaystyle (t=i\tau ).}

Metoda Matsubary[1] opiera się na drugiej możliwości. Okazuje się, że wtedy jednocząstkowe funkcje Greena posiadają własności periodyczności/antyperiodyczności dla bozonów/fermionów. W związku z tym funkcje te można przedstawić przez szeregi Fouriera, w których zostają częstości nieparzyste/parzyste dla fermionów/bozonów. Wtedy obliczenie funkcji Greena sprowadza się do wykonania odpowiednich sum po częstościach.

Retardowane funkcje Greena otrzymujemy z funkcji w częstościach dokonując kontynuacji analitycznej, co sprowadza się do podstawienia i ω n ω + i δ {\displaystyle i\omega _{n}\rightarrow \omega +i\delta } dla funkcji retardowanej i ω n ω i δ . {\displaystyle i\omega _{n}\rightarrow \omega -i\delta .}

Przypisy | edytuj kod

  1. Takeo Matsubara: A New Approach to Quantum-Statistical Mechanics. 1955.
Na podstawie artykułu: "Funkcja Greena" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy