Funkcja W Lamberta


Funkcja W Lamberta w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Wykres funkcji W0(x). z = Re(W0(x + i y)) (część rzeczywista funkcji) z = Im(W0(x + i y)) (część urojona funkcji) moduł funkcji z = W0(x + i y)

Funkcja W Lamberta lub funkcja Omegafunkcja specjalna używana podczas rozwiązywania równań zawierających niewiadomą zarówno w podstawie, jak i wykładniku potęgi. Określona jest jako funkcja odwrotna do f ( z ) = z e z , {\displaystyle f(z)=ze^{z},} gdzie z należy do zbioru liczb zespolonych. Oznacza się ją symbolem W ( z ) . {\displaystyle W(z).} Zatem dla każdej liczby zespolonej z zachodzi:

z = W ( z ) e W ( z ) . {\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}.}

Ponieważ funkcja f nie jest iniekcją, zatem W(z) musi być odwzorowaniem wielowartościowym. Tworzy się zatem rodzinę funkcji W k ( z ) , {\displaystyle W_{k}(z),} gdzie k Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } oznacza numer gałęzi. Dla k=0 przyjmuje się gałąź W0(z) opisaną poniżej, rozszerzoną na wszystkie liczby zespolone. Ze wzrostem k rośnie też część urojona funkcji Wk(z).

Jeśli założymy, że x oraz W(x) mają być rzeczywiste, wtedy odwzorowanie istnieje jedynie dla x ≥ −1/e, a na odcinku (−1/e,0) jest dwuwartościowe. Jeśli dodatkowo założymy, że W(x) ≥ −1, otrzymamy funkcję W0(x) przedstawioną na wykresie obok. Alternatywna gałąź oznaczana W−1(x) to funkcja malejąca od −1 (dla x = −1/e) do −∞ (dla x = 0).

Spis treści

Własności funkcji W(z) | edytuj kod

Równanie x x = z {\displaystyle x^{x}=z} ma rozwiązanie:

x = ln ( z ) W ( ln z ) = exp W ( ln ( z ) ) . {\displaystyle x={\frac {\ln(z)}{W(\ln z)}}=\exp W(\ln(z)).}

Pierwotną funkcji W {\displaystyle W} można znaleźć, całkując przez podstawienie: jeżeli w = W ( x ) , {\displaystyle w=W(x),} to x = w e w , {\displaystyle x=we^{w},} wówczas:

W ( x )   d x = x ( W ( x ) 1 + 1 W ( x ) ) + C . {\displaystyle \int W(x)\ dx=x\left(W(x)-1+{\tfrac {1}{W(x)}}\right)+C.}

Pochodna funkcji W {\displaystyle W} wynosi:

d W ( z ) d z = W ( z ) z ( 1 + W ( z ) ) d l a   z 1 e . {\displaystyle {\frac {dW(z)}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad \mathrm {dla\ } z\neq -{\frac {1}{e}}.}

Dowód | edytuj kod

Różniczkując równanie z = W ( z ) e W ( z ) {\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}} obustronnie względem z , {\displaystyle z,} otrzymamy

1 = W ( z ) e W ( z ) W ( z ) + W ( z ) e W ( z ) = W ( z ) ( W ( z ) e W ( z ) + e W ( z ) ) , {\displaystyle 1=W(z)e^{W(z)}W'(z)+W'(z)e^{W(z)}=W'(z)\left(W(z)e^{W(z)}+e^{W(z)}\right),} W ( z ) = 1 z + e W ( z ) = W ( z ) W ( z ) z + W ( z ) e W ( z ) = W ( z ) z ( W ( z ) + 1 ) . {\displaystyle W'(z)={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}={\frac {W(z)}{W(z)z+W(z)e^{W(z)}}}={\frac {W(z)}{z(W(z)+1)}}.}

Zastosowanie | edytuj kod

Funkcja W znajduje zastosowanie w kombinatoryce i przy rozwiązywaniu trudnych równań różniczkowych. Wiele równań zawierających niewiadomą w potędze może być rozwiązanych za pomocą tej funkcji. Najczęściej problem polega wtedy na sprowadzeniu równania do formy Y = XeX, przez co automatycznie otrzymuje się rozwiązanie:

Y = X e X X = W ( Y ) . {\displaystyle Y=Xe^{X}\;\Longleftrightarrow \;X=W(Y).}

Przykład 1 | edytuj kod

2 t = 5 t {\displaystyle 2^{t}=5t} 5 t = e t ln 2 {\displaystyle \Rightarrow 5t=e^{t\ln 2}} 1 5 t = e t ln 2 {\displaystyle \Rightarrow {\frac {1}{5t}}=e^{-t\ln 2}} ln 2 5 Y = t ln 2 X e t ln 2 X {\displaystyle \Rightarrow \underbrace {-{\tfrac {\ln 2}{5}}} _{Y}=\underbrace {-t\ln 2} _{X}e^{\overbrace {-t\ln 2} ^{X}}} t ln 2 X = W ( ln 2 5 Y ) {\displaystyle \Rightarrow \underbrace {-t\ln 2} _{X}=W{\Big (}\underbrace {-{\tfrac {\ln 2}{5}}} _{Y}{\Big )}} t = W ( ln 2 5 ) ln 2 {\displaystyle \Rightarrow t=-{\frac {W\left(-{\frac {\ln 2}{5}}\right)}{\ln 2}}}

Przykład 2 | edytuj kod

Jeśli wartość z z z {\displaystyle z^{z^{z^{\cdots }}}} jest skończona, można ją obliczyć w następujący sposób:

c = z z z , {\displaystyle c=z^{z^{z^{\cdots }}},} c = z c . {\displaystyle \Rightarrow c=z^{c}.}

Używając rozumowania przedstawionego powyżej, otrzymujemy:

c = W ( ln z ) ln z . {\displaystyle c=-{\frac {W\left(-\ln z\right)}{\ln z}}.}

Uwaga | edytuj kod

Aby udowodnić, że wartość z z z {\displaystyle z^{z^{z^{\cdots }}}} istnieje, należy rozpatrzyć ciąg:

a = ( z , z z , z z z , ) {\displaystyle a=(z,z^{z},z^{z^{z}},\dots )}

lub (w postaci rekurencyjnej):

{ a 1 = z a n = z a n 1 {\displaystyle {\begin{cases}a_{1}=z\\a_{n}=z^{a_{n-1}}\end{cases}}}

i udowodnić istnienie jego granicy. Jeśli ona istnieje, wtedy zachodzi równość

lim n a n = c . {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=c.}

Przykład 3 | edytuj kod

Równanie różniczkowe:

y ( t ) = a y ( t 1 ) {\displaystyle y'(t)=ay(t-1)}

ma równanie charakterystyczne λ = aeλ, czyli λ = Wk(a), gdzie k to numer gałęzi (jeśli a jest rzeczywiste, wtedy wystarczy uwzględnić gałąź W0(a)). Rozwiązanie wynosi zatem:

y ( t ) = e W k ( a ) t . {\displaystyle y(t)=e^{W_{k}(a)\,t}.}

Ważne wartości | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Funkcja W Lamberta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy