Funkcja dzeta


Funkcja dzeta Riemanna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Funkcja dzeta) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja ζ (dzeta) Riemannafunkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:

ζ ( z ) = n = 1 ( 1 n ) z . {\displaystyle {\zeta }(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\right)^{z}.}

Szereg ten jest zbieżny dla takich z , {\displaystyle z,} których część rzeczywista jest większa od 1.

Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza z = 1. {\displaystyle z=1.} Przyjmuje ona wtedy postać:

ζ ( z ) = 1 1 2 1 z n = 0 1 2 n + 1 k = 0 n ( 1 ) k ( n k ) ( k + 1 ) z . {\displaystyle {\zeta }(z)={\frac {1}{1-2^{1-z}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-z}.} [1]

Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla z {\displaystyle z} o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:

ζ ( z ) = 2 z π z 1 sin ( π z 2 ) Γ ( 1 z ) ζ ( 1 z ) , {\displaystyle {\zeta }(z)=2^{z}\pi ^{z-1}\sin \left({\frac {\pi z}{2}}\right)\Gamma (1-z){\zeta }(1-z),} [2][3]

gdzie Γ {\displaystyle \Gamma } to funkcja Γ (gamma) Eulera.

Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.

Spis treści

Wykres funkcji ζ | edytuj kod

Dziedzina liczb rzeczywistych | edytuj kod

Dziedzina liczb zespolonych | edytuj kod

Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

Ważne wzory związane z funkcją ζ | edytuj kod

Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla R e ( z ) > 1 {\displaystyle Re(z)>1} ):

ζ ( z ) = p 1 1 p z , {\displaystyle {\zeta }(z)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-z}}},} [4][5]

gdzie p {\displaystyle p} oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.

Związek z liczbami Bernoulliego:

ζ ( 2 n ) = ( 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! , {\displaystyle {\zeta }(2n)=\left(-1\right)^{n+1}{\frac {B_{2n}\left(2\pi \right)^{2n}}{2\left(2n\right)!}},}

dla każdej liczby parzystej dodatniej 2 n , {\displaystyle 2n,} gdzie B k {\displaystyle B_{k}} to k {\displaystyle k} -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych n : {\displaystyle -n{:}}

ζ ( n ) = B n + 1 n + 1 . {\displaystyle {\zeta }(-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}.}

Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Związki z funkcjami teorioliczbowymi:

ln ζ ( z ) = z 2 π ( x ) x ( x z 1 ) d x , {\displaystyle \ln \zeta (z)=z\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{z}-1)}}dx,} [6]

gdzie π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od x {\displaystyle x}

ζ 2 ( z ) = n = 1 τ ( n ) n z , {\displaystyle \zeta ^{2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{z}}},} [7]

gdzie τ ( n ) {\displaystyle \tau (n)} to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby n . {\displaystyle n.}

Niektóre wartości | edytuj kod

Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1 ζ ( 1 ) = 1 12 0,083 3333 {\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}\approx -0{,}0833333} ζ ( 2 ) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + = π 2 6 1,644 9341 {\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}6449341} [8] ζ ( 4 ) = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + = π 4 90 1,082 3232 {\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1{,}0823232} [8] ζ ( 6 ) = 1 + 1 2 6 + 1 3 6 + = π 6 945 1,017 3431 {\displaystyle \zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\approx 1{,}0173431} [8] ζ ( 8 ) = 1 + 1 2 8 + 1 3 8 + = π 8 9450 1,004 0774 {\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\approx 1{,}0040774} ζ ( 10 ) = 1 + 1 2 10 + 1 3 10 + = π 10 93555 1,000 9946 {\displaystyle \zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}\approx 1{,}0009946}

Ogólnie, dla p N , {\displaystyle p\in \mathbb {N} ,} mamy:

ζ ( 2 p ) = ( 1 ) p + 1 B 2 p ( 2 π ) 2 p 2 ( 2 p ) ! , {\displaystyle \zeta (2p)={\frac {(-1)^{p+1}\cdot B_{2p}\cdot (2\pi )^{2p}}{2\cdot (2p)!}},} [9]

gdzie B 2 p {\displaystyle B_{2p}} to liczba Bernoulliego z indeksem 2 p . {\displaystyle 2p.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. MarcinM. Szweda MarcinM., Kongruencje na liczbach harmonicznych i ich uogólnienia, [w:] Oblicze 2016, Poznań: Koło Naukowe Matematyków UAM, wrzesień 2016, s. 210, ISBN 978-83-946301-0-2 [dostęp 2019-02-09]  (pol.).
  2. Titchmarsh 1986 ↓, s. 13.
  3. Carl MC.M. Bender Carl MC.M., Dorje C.D.C. Brody Dorje C.D.C., Markus P.M.P. Müller Markus P.M.P., Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function, „Physical Review Letters”, 118, 2017, s. 130201-1, DOI10.1103/PhysRevLett.118.130201  (ang.).
  4. Georg Friedrich BernhardG.F.B. Riemann Georg Friedrich BernhardG.F.B., Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, „Monatsberichte der Berliner Akademie”, listopad 1859 .
  5. Titchmarsh 1986 ↓, s. 1.
  6. Titchmarsh 1986 ↓, s. 2.
  7. Titchmarsh 1986 ↓, s. 4.
  8. a b c Maligranda 2008 ↓, s. 55.
  9. Maligranda 2008 ↓, s. 62.

Bibliografia | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (funkcja analityczna):
Na podstawie artykułu: "Funkcja dzeta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy