Funkcja produkcji CES


Funkcja produkcji CES w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja produkcji CES (ang. Constant elasticity of substitution) – funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji, którą pierwotnie zaproponował Robert Solow[1], a spopularyzował m.in. Kenneth Arrow[2] jako uogólnienie właściwości funkcji produkcji Cobba-Douglasa.

Dla dwóch czynników – pracy i kapitału – funkcja przyjmuje postać[2]:

f ( k , l ) = ( α k σ 1 σ + β l σ 1 σ ) σ σ 1 , {\displaystyle f(k,l)=\left(\alpha k^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}+\beta l^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}},}

gdzie:

α ,   β ,   σ {\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \sigma } są większe od 0, k {\displaystyle k} – kapitał, l {\displaystyle l} – praca, σ {\displaystyle \sigma } – elastyczność substytucji,

co jest równoznaczne z zapisem:

f ( x 1 , x 2 ) = ( α x 1 ρ + β x 2 ρ ) γ ρ , {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(\alpha {x_{1}}^{\rho }+\beta {x_{2}}^{\rho })^{\frac {\gamma }{\rho }},}

gdzie:

γ {\displaystyle \gamma } stopień jednorodności, zazwyczaj przyjmuje się γ = 1. {\displaystyle \gamma =1.}

Spis treści

Właściwości funkcji | edytuj kod

Funkcja CES jest homogeniczna stopnia γ . {\displaystyle \gamma .} Dla ρ 1 {\displaystyle \rho \leqslant -1} jest quasi-wypukła, dla ρ 1 {\displaystyle \rho \geqslant -1} quasi-wklęsła. Dla 0 < γ < 1 {\displaystyle 0<\gamma <1} i ρ > 1 {\displaystyle \rho >-1} jest ściśle wklęsła.

Elastyczność funkcji CES | edytuj kod

Cechuje ją stały wzdłuż izokwanty stosunek procentowej zmiany proporcji czynników produkcji do procentowej zmiany krańcowej stopy technicznej substytucji (MRTS)[3].

M R T S k , l = α k 1 σ β l 1 σ , {\displaystyle MRTS_{k,l}={\frac {\alpha k^{\frac {-1}{\sigma }}}{\beta l^{\frac {-1}{\sigma }}}},}

po przekształceniu:

k l = ( α M R T S l , k β ) σ . {\displaystyle {\frac {k}{l}}=\left({\frac {\alpha MRTS_{l,k}}{\beta }}\right)^{\sigma }.}

Po zlogarytmowaniu obu stron:

ln k l = σ ( ln α β + ln | M R T S l , k | ) . {\displaystyle \ln {\frac {k}{l}}=\sigma \left(\ln {\frac {\alpha }{\beta }}+\ln |MRTS_{l,k}|\right).}

Stąd elastyczność substytucji:

E S = ln k l ln | M R T S l , k | = σ . {\displaystyle ES={\frac {\ln {\frac {k}{l}}}{\ln |MRTS_{l,k}|}}=\sigma .}

Minimalizacja kosztów | edytuj kod

Problem minimalizacji kosztów dla funkcji produkcji CES w postaci f ( x 1 , x 2 ) = ( x 1 ρ + x 2 ρ ) 1 ρ {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=({x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho })^{\frac {1}{\rho }}} można przedstawić jako[4]:

min p 1 x 1 + p 2 x 2 {\displaystyle \min p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}

przy warunku:

x 1 ρ + x 2 ρ = y ρ . {\displaystyle {x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho }=y^{\rho }.}

Wykorzystując metodę mnożników Lagrange’a, uzyskujemy warunki pierwszego rzędu:

p 1 λ ρ x 1 ρ 1 = 0 , {\displaystyle p_{1}-\lambda \rho {x_{1}}^{\rho -1}=0,} p 2 λ ρ x 2 ρ 1 = 0 , {\displaystyle p_{2}-\lambda \rho {x_{2}}^{\rho -1}=0,} x 1 ρ + x 2 ρ = y ρ . {\displaystyle {x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho }=y^{\rho }.}

Wyznaczamy x 1 ρ i x 2 ρ {\displaystyle {x_{1}^{\rho }}\;{\text{i}}\;{x_{2}^{\rho }}} (1)

x 1 ρ = p 1 ρ ρ 1 ( λ ρ ) ρ ρ 1 , {\displaystyle x_{1}^{\rho }=p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}{(\lambda \rho )}^{\frac {-\rho }{\rho -1}},} x 2 ρ = p 2 ρ ρ 1 ( λ ρ ) ρ ρ 1 {\displaystyle x_{2}^{\rho }=p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}{(\lambda \rho )}^{\frac {-\rho }{\rho -1}}}

i podstawiamy do funkcji produkcji, co daje

( λ ρ ) ρ ρ 1 p 1 ρ ρ 1 + p 2 ρ ρ 1 = y ρ . {\displaystyle (\lambda \rho )^{\frac {-\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]=y^{\rho }.}

Wyznaczamy ( λ ρ ) ρ ρ 1 {\displaystyle (\lambda \rho )^{\frac {-\rho }{\rho -1}}} i podstawiamy do równań z (1):

x 1 ( p 1 , p 2 , y ) = p 1 ρ ρ 1 p 1 ρ ρ 1 + p 2 ρ ρ 1 1 ρ y , {\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},y)=p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {-1}{\rho }}y,} x 2 ( p 1 , p 2 , y ) = p 2 ρ ρ 1 p 1 ρ ρ 1 + p 2 ρ ρ 1 1 ρ y . {\displaystyle x_{2}(p_{1},p_{2},y)=p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {-1}{\rho }}y.}

Powstałe w ten sposób funkcje podstawiamy do funkcji kosztów i otrzymujemy

c ( p 1 , p 2 , y ) = y p 1 ρ ρ 1 + p 2 ρ ρ 1 ρ 1 ρ . {\displaystyle c(p_{1},p_{2},y)=y\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {\rho -1}{\rho }}.}

W ogólnym przypadku, gdzie f ( x 1 , x 2 ) = ( α x 1 ) ρ + ( β x 2 ) ρ 1 ρ , {\displaystyle f(x_{1},x_{2})={\big [}(\alpha x_{1})^{\rho }+(\beta x_{2})^{\rho }{\big ]}^{\frac {1}{\rho }},} a za ρ ρ 1 {\displaystyle {\frac {\rho }{\rho -1}}} przyjmiemy r , {\displaystyle r,} funkcja kosztów przyjmuje postać: c ( p 1 , p 2 , y ) = y ( p 1 / α ) r + ( p 2 / β ) r 1 r . {\displaystyle c(p_{1},p_{2},y)=y{\big [}(p_{1}/\alpha )^{r}+(p_{2}/\beta )^{r}{\big ]}^{\frac {1}{r}}.}

Szczególne przypadki funkcji CES | edytuj kod

Funkcja Cobba-Douglasa | edytuj kod

W granicy dla ρ = 0 {\displaystyle \rho =0} i σ = 1 {\displaystyle \sigma =1} funkcja CES jest tożsama z funkcją Cobba-Douglasa[5]:

Żeby to udowodnić, należy zlogarytmować funkcję CES

ln ( Y ) = ln ( A ) + 1 ρ ln ( α K ρ + ( 1 α ) L ρ ) {\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\rho }}\ln(\alpha K^{\rho }+(1-\alpha )L^{\rho })}

i obliczyć jej granicę, używając reguły de l’Hopitala

lim ρ 0 ln ( Y ) = ln ( A ) + α ln ( K ) + ( 1 α ) ln ( L ) , {\displaystyle \lim _{\rho \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L),}

stąd Y = A K α L 1 α . {\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }.}

Funkcja Leontiefa | edytuj kod

Przy zerowej elastyczności substytucji, czyli σ = 0 {\displaystyle \sigma =0} funkcja jest z definicji tożsama z funkcją produkcji Leontiefa

Y = f ( k , l ) = min { α k ,   β l } . {\displaystyle Y=f(k,l)=\min\{\alpha k,\ \beta l\}.}

Funkcja liniowa | edytuj kod

Przy nieskończonej elastyczności, czyli σ = {\displaystyle \sigma =\infty } funkcja CES jest liniowa:

Y = f ( k , l ) = α k + β l . {\displaystyle Y=f(k,l)=\alpha k+\beta l.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. R.M.R.M. Solow R.M.R.M., A contribution to the theory of economic growth, „The Quarterly Journal of Economics. 70”, 1956 .
  2. a b Samuelson i inni, Paul A. Samuelson, John R. Hicks, Kenneth J. Arrow, Gerard Debreu and Maurice F.C. Allais, Edward Elgar, 2010, ISBN 978-1-78536-225-5, OCLC 763140267 [dostęp 2020-05-01] .
  3. FrancisF. Renaud FrancisF., Theory of Cost and Production Functions. By R. W. Shephard. Princeton: Princeton University Press, 1970. Pp. xi, 308., „The Journal of Economic History”, 31 (3), 1971, s. 721–723, DOI10.1017/s002205070007457x, ISSN 0022-0507 [dostęp 2020-05-01] .
  4. Hal R.H.R. Varian Hal R.H.R., Microeconomic analysis, wyd. 3rd ed, New York: Norton, 1992, ISBN 0-393-95735-7, OCLC 24847759 [dostęp 2020-05-01] .
  5. Wing ChuenW.Ch. Suen Wing ChuenW.Ch., The structure of economics. A mathematical analysis, wyd. 3rd ed, Boston, Mass.: McGraw-Hill, 2001, ISBN 0-07-234352-4, OCLC 43757632 [dostęp 2020-05-01] .

Bibliografia | edytuj kod

  • R.W. Shephard, Theory of cost and production functions, Princeton University Press, Princeton, 1978.
  • P.H. Douglas, Are there laws of production?, „American Economic Review”, 1948.
  • M. Fuss, D. McFadden, Production economics: a dual approach to theory and application, North-Holland, Amsterdam, 1980.
  • Hal R. Varian, Microeconomic analysis, 3rd ed, New York: Norton, 1992.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Funkcja produkcji CES" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy