Funkcja różniczkowalna


Funkcja różniczkowalna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja różniczkowalnafunkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swej dziedziny, i której wartość w każdym jej punkcie jest skończona (różna od {\displaystyle \infty } i {\displaystyle -\infty } ).

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej dziedzinie co funkcja.

Spis treści

Funkcja n-krotnie różniczkowalna | edytuj kod

Definicja:

(1) Jeżeli funkcja f {\displaystyle f} ma pochodną g f {\displaystyle g\equiv f^{\,'}} określoną w zbiorze A {\displaystyle A} oraz funkcja g {\displaystyle g} ma pochodną h g {\displaystyle h\equiv g^{\,'}} określoną w zbiorze B A {\displaystyle B\subset A} to mówimy, że

  • f {\displaystyle f} jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze B , {\displaystyle B,}
  • funkcja h {\displaystyle h} jest drugą pochodną funkcji f {\displaystyle f} określoną na zbiorze B . {\displaystyle B.}

(2) Funkcję nazywa się n {\displaystyle n} -krotnie różniczkowalną, jeżeli istnieje n {\displaystyle n} kolejnych pochodnych obliczonych z danej funkcji.

Funkcja klasy C n {\displaystyle C^{n}} | edytuj kod

Motywacja | edytuj kod

Jeżeli dana funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to nie oznacza automatycznie, że funkcja pochodna jest ciągła. Jeżeli funkcja pochodna jest ciągła, to o samej funkcji mówi się, że jest klasy C 1 , {\displaystyle C^{1},} w przeciwnym zaś razie o funkcji mówi się, że jest klasy C 0 . {\displaystyle C^{0}.} Czasem potrzebne jest wymaganie, by pochodna n {\displaystyle n} -tego rzędu była ciągła – stąd ogólna definicja funkcji klasy C n . {\displaystyle C^{n}.}

Uwaga powyższa dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność automatycznie pociąga za sobą analityczność.

Definicja | edytuj kod

(1) Funkcję f {\displaystyle f} określoną na przedziale ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} nazywa się funkcją klasy C n , {\displaystyle C^{n},} gdzie n = 1 , 2 , , {\displaystyle n=1,2,\dots ,} jeżeli w przedziale ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ma n {\displaystyle n} ciągłych pochodnych.

(2) Funkcje klasy C 0 {\displaystyle C^{0}} to funkcje ciągłe.

(3) Funkcje klasy C {\displaystyle C^{\infty }} (C-nieskończoność) to funkcje różniczkowalne dowolną liczbę razy. Klasę C {\displaystyle C^{\infty }} nazywa się też klasą funkcji gładkich.

Przykłady | edytuj kod

f ( x ) = { x 3 sin ( 1 x ) , g d y   x 0 , 0 , g d y   x = 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3}\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right),&\mathrm {gdy\ } x\neq 0,\\0,&\mathrm {gdy\ } x=0\end{cases}}}

jest klasy C 1 ( R ) , {\displaystyle C^{1}(\mathbb {R} ),} ale nie jest klasy C 2 ( R ) . {\displaystyle C^{2}(\mathbb {R} ).}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Funkcja różniczkowalna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy