Funkcja rozkładu


Funkcja rozkładu w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja rozkładu – w fizyce jest to wielkość równa liczbie cząstek (gazu lub cieczy) mających w danej chwili określone z zadaną dokładnością położenie i prędkość. Funkcja rozkładu jest podstawowym pojęciem kinetycznej teorii gazów, fizyki statystycznej i mechaniki płynów.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

W kinetycznej teorii gazów funkcja rozkładu f {\displaystyle f} jest funkcją siedmiu parametrów makroskopowych: trzech składowych położenia ( x , y , z ) , {\displaystyle (x,y,z),} trzech składowych prędkości ( v x , v y , v z ) {\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})} i czasu t . {\displaystyle t.} Definiuje się ją tak, by wyrażenie

f ( x , y , z ; v x , v y , v z ; t ) d 3 r d 3 v {\displaystyle f(x,y,z;v_{x},v_{y},v_{z};t)\,d^{3}r\,d^{3}v}

równe było liczbie cząstek mających w chwili t {\displaystyle t} prędkość w elemencie objętości d 3 v {\displaystyle d^{3}v} wokół prędkości ( v x , v y , v z ) {\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})} i położenie w elemencie objętości d 3 r {\displaystyle d^{3}r} wokół punktu ( x , y , z ) . {\displaystyle (x,y,z).}

W równaniu powyższym wielkości d 3 v {\displaystyle d^{3}v} i d 3 r {\displaystyle d^{3}r} nie są wielkościami infinitezymalnymi w sensie matematycznym. Typowe w matematyce przejście graniczne

d 3 v 0 , d 3 r 0 {\displaystyle d^{3}v\to 0,\quad d^{3}r\to 0}

jest na gruncie fizyki klasycznej jałowe, gdyż prowadzi do utraty ciągłości i gładkości f {\displaystyle f} (patrz: teoria dystrybucji), a na gruncie fizyki kwantowej – wręcz niewykonalne (patrz: zasada nieoznaczoności). Dlatego d 3 v {\displaystyle d^{3}v} i d 3 r {\displaystyle d^{3}r} należy rozumieć jako elementy objętości na tyle duże, by zawierały bardzo dużą liczbę cząstek (np. 10 9 {\displaystyle 10^{9}} ); jednocześnie na tyle małe, by były dużo mniejsze od charakterystycznych długości dla zjawisk makroskopowych opisywanych funkcją rozkładu (np. d 3 r 10 10 c m 3 {\displaystyle d^{3}r\approx 10^{-10}\,\mathrm {cm} ^{3}} ). Dzięki takiej definicji funkcję rozkładu można traktować jako ciągłą i różniczkowalną funkcję swoich siedmiu parametrów.

Własności | edytuj kod

Funkcja rozkładu spełnia warunki

n ( x , y , z , t ) = f ( x , y , z ; v x , v y , v z ; t ) d v x d v y d v z {\displaystyle n(x,y,z,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y,z;v_{x},v_{y},v_{z};t)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}} N ( t ) = V n ( x , y , z , t ) d x d y d z , {\displaystyle N(t)=\int \!\!\int \!\!\int _{V}n(x,y,z,t)\,dx\,dy\,dz,}

gdzie:

n ( x , y , z , t ) {\displaystyle n(x,y,z,t)} koncentracja cząstek w chwili t {\displaystyle t} w punkcie ( x , y , z ) , {\displaystyle (x,y,z),} N ( t ) {\displaystyle N(t)} – liczba cząstek w chwili t {\displaystyle t} w zadanej objętości V , {\displaystyle V,} V {\displaystyle V} – pewna zadana objętość.

Przestrzeń μ | edytuj kod

Przestrzeń rozpięta przez siedem argumentów funkcji rozkładu, czyli trzech składowych położenia ( x , y , z ) , {\displaystyle (x,y,z),} trzech składowych prędkości ( v x , v y , v z ) {\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})} i czasu t {\displaystyle t} zwana jest przestrzenią μ.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Kerson Huang, Mechanika statystyczna, wydanie II, PWN, Warszawa 1987.
Na podstawie artykułu: "Funkcja rozkładu" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy