Funkcja sinc


Funkcja sinc w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Znormalizowana i nieznormalizowana funkcja sinc

Nieznormalizowana funkcja sinc (od łac. sinus cardinalis, również funkcja interpolująca lub pierwsza sferyczna funkcja Bessela) – funkcja definiowana jako:

sinc   x = { sin x x dla  x 0 1 dla  x = 0 {\displaystyle \operatorname {sinc} \ x={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}}&{\text{dla }}x\neq 0\\1&{\text{dla }}x=0\end{cases}}}

gdzie sin {\displaystyle \sin } oznacza funkcję sinus.

Znormalizowana funkcja sinc, oznaczana tym samym symbolem:

sinc   x = { sin ( π x ) π x dla  x 0 1 dla  x = 0 {\displaystyle \operatorname {sinc} \ x={\begin{cases}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}&{\text{dla }}x\neq 0\\1&{\text{dla }}x=0\end{cases}}}

Funkcja sinc jest transformatą Fouriera funkcji prostokątnej. Ma szerokie zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów i analizie filtrów. W teorii sygnałów zwana jest też jako Sa od angielskiego słowa sampling (próbkowanie).

Własności | edytuj kod

Lokalne ekstrema sin x / x {\displaystyle \sin x/x} znajdują się na przecięciu z funkcją cosinus.
  • Miejscami zerowymi nieznormalizowanej funkcji sinc są całkowite niezerowe wielokrotności liczby π , {\displaystyle \pi ,} dla znormalizowanej funkcji są to wszystkie niezerowe liczby całkowite.
  • Wykresy funkcji sin x / x {\displaystyle \sin x/x} i cos x {\displaystyle \cos x} przecinają się w tych punktach płaszczyzny, w których sin x / x {\displaystyle \sin x/x} osiąga ekstrema lokalne. Innymi słowy sin ξ / ξ = cos ξ {\displaystyle \sin \xi /\xi =\cos \xi } dla wszystkich punktów ξ , {\displaystyle \xi ,} w których pierwsza pochodna funkcji sin x / x {\displaystyle \sin x/x} jest równa zero. W punkcie ξ 0 = 0 {\displaystyle \xi _{0}=0} znajduje się maksimum globalne.
sin ( π x ) π x = n = 1 ( 1 x 2 n 2 ) {\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)} sin ( x ) x = n = 1 cos ( x 2 n ) . {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right).} s i n c ( t ) e i 2 π f t d t = r e c t ( f ) , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {rect} (f),} co oznacza, że funkcja ta jest odpowiedzią impulsową idealnego filtru dolnoprzepustowego. W szczególności zachodzi: sin ( π x ) π x d x = r e c t ( 0 ) = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\mathrm {rect} (0)=1}

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Funkcja sinc" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy