Funkcja skokowa Heaviside’a


Funkcja skokowa Heaviside’a w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Funkcja Heaviside’a; przy założeniu H ( 0 ) = 0 , 5 {\displaystyle H(0)=0{,}5}

Funkcja skokowa Heaviside’a, skok jednostkowyfunkcja nieciągła, która przyjmuje wartość 0 {\displaystyle 0} dla ujemnych argumentów i wartość 1 {\displaystyle 1} w pozostałych przypadkach:

H ( x ) = { 0   d l a   x < 0 1   d l a   x 0 . {\displaystyle H(x)={\begin{cases}0\ \mathrm {dla} \ x<0\\1\ \mathrm {dla} \ x\geqslant 0\end{cases}}.}

Często stosowanym symbolem, zwłaszcza w środowisku inżynierskim elektryków i elektroników, dla funkcji skokowej Heaviside’a jest 1 ( t ) {\displaystyle \mathbf {1} {\big (}t{\big )}} (np. [1], symbolu tego używał sam Oliver Heaviside[2]). Argument t {\displaystyle t} oznacza tu zazwyczaj czas. Przy zastosowaniach z dziedziny mechaniki, na przykład analizie belek, argumentem tej funkcji może być położenie obciążenia.

Funkcja ta jest używana w przetwarzaniu sygnałów do reprezentowania sygnału włączającego się w danej chwili czasu, w elektrotechnice i elektronice do analizy stanów nieustalonych w obwodach RLC, w automatyce jako sygnał wymuszenia na wejściu układu, a także w mechanice do reprezentowania obciążeń belek rozłożonych na pewnej części ich długości.

Skok jednostkowy jest wynikiem całkowania delty Diraca[3]. Wartość funkcji Heaviside’a dla argumentu 0 nie jest szczególnie istotna, ponieważ funkcja jest zazwyczaj używana wewnątrz całki. Niektóre źródła podają H ( 0 ) = 0 , {\displaystyle H(0)=0,} a inne H ( 0 ) = 1. {\displaystyle H(0)=1.} Używa się też wartości H ( 0 ) = 0 , 5 , {\displaystyle H(0)=0{,}5,} aby uzyskać symetrię funkcji. Definicja H ( x ) {\displaystyle H(x)} wygląda wtedy następująco[4]:

x δ ( t ) d t = H ( x ) = { 0   d l a   x < 0 1 2   d l a   x = 0 1   d l a   x > 0 . {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{x}{\delta (t)dt}=H(x)={\begin{cases}0\ \mathrm {dla} \ x<0\\{\frac {1}{2}}\ \mathrm {dla} \ x=0\\1\ \mathrm {dla} \ x>0\end{cases}}.}

Funkcja skoku jednostkowego spełnia ważną rolę w rachunku operatorowym, m.in. przekształcenie Laplace’a zawiera ją w sposób niejawny.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Ludwicki M.: Sterowanie procesami w przemyśle spożywczym. Łódź: PTTŻ, 2002.
  2. Paul Nahin: Oliver Heaviside: The Life, Work, and Times of an Electrical Genius of the Victorian Age. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2002, s. 220. ISBN 0-8018-6909-9.
  3. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Delta Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
  4. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Heaviside Step Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
Na podstawie artykułu: "Funkcja skokowa Heaviside’a" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy