Funkcja tożsamościowa


Funkcja tożsamościowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja tożsamościowa (funkcja identycznościowa, tożsamość, identyczność)funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego. Intuicyjnie: funkcja, która „nic nie zmienia”.

W niektórych dyscyplinach matematycznych zamiast słowa funkcja używa się słów odwzorowanie lub przekształcenie.

Gdy funkcja jest określona na specyficznej dziedzinie czy przeciwdziedzinie, to używa się też innych nazw. Np. funkcjonał – funkcja z przestrzeni wektorowej na ciało liczbowe, operator – funkcja z przestrzeni wektorowej na przestrzeń wektorową itp.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Funkcją tożsamościową (identycznościową) zbioru S {\displaystyle S} nazywa się funkcję i S : S S {\displaystyle \operatorname {i} _{S}\colon S\to S} daną dla każdego x S {\displaystyle x\in S} wzorem

i S ( x ) = x . {\displaystyle \operatorname {i} _{S}(x)=x.}

Zwykle funkcję tę oznacza się symbolem zawierającym małą lub dużą literę i lub 1, spotyka się też symbol id. Do najpopularniejszych oznaczeń należą id S , {\displaystyle \operatorname {id} _{S},} I S , {\displaystyle \operatorname {I} _{S},} 1 S , {\displaystyle \operatorname {1} _{S},} choć dwa ostatnie symbole często oznaczają funkcję charakterystyczną zbioru S . {\displaystyle S.}

Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, to opuszcza się indeks dolny wskazujący zbiór, na którym określono funkcję tożsamościową, pisząc: id , {\displaystyle \operatorname {id} ,} I , {\displaystyle \operatorname {I} ,} 1 . {\displaystyle \operatorname {1} .}

W języku teorii mnogości, gdzie funkcja definiowana jest jako szczególny rodzaj relacji dwuargumentowej, funkcja tożsamościowa dana jest jako relacja tożsamościowa lub przekątna M . {\displaystyle M.}

Własności | edytuj kod

Wykres funkcji tożsamościowej określonej na liczbach rzeczywistych.

Jeżeli f : M N {\displaystyle f\colon M\to N} jest dowolną funkcją, to f id M = f = id N f , {\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{M}=f=\operatorname {id} _{N}\circ f,} gdzie {\displaystyle \circ } oznacza złożenie funkcji. W szczególności id M {\displaystyle \operatorname {id} _{M}} jest elementem neutralnym (identycznością) monoidu wszystkich funkcji M M . {\displaystyle M\to M.}

Ponieważ element neutralny w monoidzie wyznaczony jest jednoznacznie, to funkcję identycznościową na M {\displaystyle M} można zdefiniować również jako wspomniany element neutralny. Taka definicja uogólnia się do pojęcia morfizmu identycznościowego w teorii kategorii, gdzie endomorfizmy M {\displaystyle M} nie muszą być funkcjami.

Funkcja identycznościowa jest wzajemnie jednoznaczna. W szczególności odwzorowanie tożsamościowe dowolnej struktury algebraicznej jest jej automorfizmem.

Przykłady | edytuj kod

Funkcja liniowa postaci x x {\displaystyle x\mapsto x} jest tożsamością na zbiorze liczb rzeczywistych.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Funkcja tożsamościowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy