Funkcja uwikłana


Funkcja uwikłana w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja uwikłanafunkcja jednej lub wielu zmiennych, która nie jest przedstawiona jako jawna zależność w rodzaju y = f ( x ) , {\displaystyle y=f(x),} ale jako pewne równanie pomiędzy wieloma zmiennymi przedstawione jako F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} [1].

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Niech X , Y {\displaystyle X,Y} będą przestrzeniami unormowanymi, D X × Y {\displaystyle D\subseteq X\times Y} oraz f : D Y {\displaystyle f\colon D\to Y} będzie ciągła. Każdą funkcję φ : U Y , {\displaystyle \varphi \colon U\to Y,} gdzie U {\displaystyle U} jest pewnym podzbiorem X , {\displaystyle X,} spełniającą dla każdego x U {\displaystyle x\in U} równanie f ( x , φ ( x ) ) = 0 {\displaystyle f(x,\varphi (x))=0} nazywamy funkcją uwikłaną funkcji f {\displaystyle f} albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie f ( x , y ) = 0. {\displaystyle f(x,y)=0.}

Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} względem y . {\displaystyle y.}

Przykłady | edytuj kod

  • Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpo­wiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta x {\displaystyle x} tego punktu równa jest x = r ( t sin t ) . {\displaystyle x=r\cdot (t-\sin t).} Parametr t {\displaystyle t} oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość t {\displaystyle t} utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej x {\displaystyle x} odpowiada innej chwili t . {\displaystyle t.} Można więc mówić o funkcji φ , {\displaystyle \varphi ,} która przypisuje każdej pozycji punktu x {\displaystyle x} cykloidy wartość t {\displaystyle t} – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji x . {\displaystyle x.} Funkcja φ {\displaystyle \varphi } nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci t = φ ( x ) {\displaystyle t=\varphi (x)} jest to funkcja uwikłana przez równanie x = r ( t sin t ) . {\displaystyle x=r\cdot (t-\sin t).}
  • Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprze­wodni­kowej. Niech U {\displaystyle U} oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś I {\displaystyle I} natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe I , {\displaystyle I,} zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: U = U d + U r . {\displaystyle U=U_{d}+U_{r}.} Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem U r {\displaystyle U_{r}} na oporniku i płynącym przezeń prądem  I , {\displaystyle I,}
I = U r R , {\displaystyle I={\frac {U_{r}}{R}},} gdzie R {\displaystyle R} oznacza wartość rezystancji. Związek pomiędzy napięciem U d {\displaystyle U_{d}} panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya: I = I S ( e U d c 1 ) , {\displaystyle I=I_{S}\cdot \left(e^{\frac {U_{d}}{c}}-1\right),} w którym I S , c {\displaystyle I_{S},c} – stałe charakte­rystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś e {\displaystyle e} podstawa logarytmu naturalnego. Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując: U r = I R , {\displaystyle U_{r}=I\cdot R,} U d = c ln ( I I S + 1 ) {\displaystyle U_{d}=c\cdot \ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)} To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem U {\displaystyle U} przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu I {\displaystyle I} U = I R + c ln ( I I S + 1 ) {\displaystyle U=I\cdot R+c\cdot \ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)} ( ) . {\displaystyle (\star ).} Natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem – jest to funkcja uwikłana określona przez równanie ( ) . {\displaystyle (\star ).}

Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej | edytuj kod

Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji y = φ ( x ) , {\displaystyle y=\varphi (x),} która jest określona w pewnym otoczeniu punktu x = x 0 , {\displaystyle x=x_{0},} spełnia w tym otoczeniu warunek f ( x , φ ( x ) ) = 0 {\displaystyle f(x,\varphi (x))=0} oraz φ ( x 0 ) = y 0 . {\displaystyle \varphi (x_{0})=y_{0}.} Jest to możliwe tylko wtedy, gdy x 0 {\displaystyle x_{0}} i y 0 {\displaystyle y_{0}} są tak dobrane, że f ( x 0 , y 0 ) = 0. {\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0.} Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej | edytuj kod

Niech X , Y {\displaystyle X,Y} będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli D X × Y {\displaystyle D\subseteq X\times Y} jest zbiorem otwartym, a f : D Y {\displaystyle f\colon D\to Y} funkcją klasy C 1 {\displaystyle C_{1}} i dla pewnego punktu ( x 0 , y 0 ) D {\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}

f ( x 0 , y 0 ) = 0 {\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0} oraz pochodna cząstkowa f y ( x 0 , y 0 ) Isom ( Y ; Y ) , {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\in \operatorname {Isom} (Y;Y),}

to istnieją liczby δ > 0 {\displaystyle \delta >0} i η > 0 {\displaystyle \eta >0} oraz funkcja φ : k ( x 0 , δ ) k ( y 0 , η ) {\displaystyle \varphi \colon k(x_{0},\delta )\to k(y_{0},\eta )} klasy C 1 , {\displaystyle C_{1},} że

  1. k ( x 0 , δ ) × k ( y 0 , η ) D , {\displaystyle k(x_{0},\delta )\times k(y_{0},\eta )\subseteq D,}
  2. dla każdego punktu x k ( x 0 , δ ) {\displaystyle x\in k(x_{0},\delta )} jedynym punktem y k ( y 0 , η ) {\displaystyle y\in k(y_{0},\eta )} spełniającym równanie f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} jest punkt y = φ ( x ) . {\displaystyle y=\varphi (x).}

Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.

Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej | edytuj kod

Niech X , Y {\displaystyle X,Y} będą przestrzeniami Banacha, D X × Y {\displaystyle D\subseteq X\times Y} będzie zbiorem otwartym oraz f : D Y {\displaystyle f\colon D\to Y} funkcją klasy C 1 {\displaystyle C_{1}} taką, że różniczka cząstkowa f y ( x 0 , y 0 ) Isom ( Y ; Y ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\in \operatorname {Isom} (Y;Y)} dla każdego ( x , y ) D . {\displaystyle (x,y)\in D.} Dalej niech dana będzie funkcja ciągła ψ : U Y , {\displaystyle \psi \colon U\to Y,} gdzie U {\displaystyle U} jest podzbiorem otwartym przestrzeni X . {\displaystyle X.} Jeżeli dla każdego x U {\displaystyle x\in U}

( x , ψ ( x ) ) D {\displaystyle (x,\psi (x))\in D} oraz f ( x , ψ ( x ) ) = 0 , {\displaystyle f(x,\psi (x))=0,}

to ψ {\displaystyle \psi } jest funkcją klasy C 1 {\displaystyle C_{1}} i dla każdego x U {\displaystyle x\in U} różniczka:

d ψ ( x ) = ( f y ( x , ψ ( x ) ) ) 1 f x ( x , ψ ( x ) ) . {\displaystyle d\psi (x)=-\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\psi (x))\right)^{-1}\circ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\psi (x)).}

Funkcje rzeczywiste | edytuj kod

Niech D R 2 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}} będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja f : D R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } jest klasy C 1 {\displaystyle C_{1}} i dla pewnego punktu ( x 0 , y 0 ) D {\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D} spełnia warunki:

f ( x 0 , y 0 ) = 0 {\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0} oraz f y ( x 0 , y 0 ) 0 , {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,}

to w pewnym otoczeniu punktu x 0 {\displaystyle x_{0}} istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła y = φ ( x ) , {\displaystyle y=\varphi (x),} spełniająca warunki y 0 = φ ( x 0 ) {\displaystyle y_{0}=\varphi (x_{0})} oraz f ( x , φ ( x ) ) = 0 {\displaystyle f(x,\varphi (x))=0} dla x {\displaystyle x} z tego otoczenia.

Ponadto jeśli w otoczeniu punktu ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} istnieje ciągła pochodna cząstkowa f x , {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},} to funkcja uwikłana y = φ ( x ) {\displaystyle y=\varphi (x)} ma ciągłą pochodną daną wzorem

d y d x = f x f y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}}.}

Inne twierdzenia | edytuj kod

Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:

Niech X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} będą przestrzeniami Banacha, U X , V Y {\displaystyle U\subseteq X,V\subseteq Y} będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli φ : U V , ψ : V Z {\displaystyle \varphi \colon U\to V,\psi \colon V\to Z} są funkcjami klasy C 1 {\displaystyle C_{1}} takimi, że

  1. φ ( 0 ) = 0 , ψ ( 0 ) = 0 , {\displaystyle \varphi (0)=0,\psi (0)=0,}
  2. ψ φ 0 , {\displaystyle \psi \circ \varphi \equiv 0,}
  3. im d φ ( 0 ) = ker d ψ ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {im} \;d\varphi (0)=\ker \;d\psi (0)}
  4. im d ψ ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {im} \;d\psi (0)} jest zbiorem domkniętym

wówczas istnieje takie otoczenie zera W V , {\displaystyle W\subseteq V,} że

ψ 1 ( 0 ) W = φ ( U ) W . {\displaystyle \psi ^{-1}(0)\cap W=\varphi (U)\cap W.}

Przypisy | edytuj kod

  1. Funkcja uwikłana – WN PWN.

Bibliografia | edytuj kod

  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  • Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach 2. Warszawa: PWN, 2005.
  • Jinpeng An, Karl-Herman Neeb: An implicit function theorem for Banach spaces and some applications. Math. Z., 262 (2009), no. 3, s. 627–643.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Funkcja uwikłana" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy