Funkcja wektorowa


Funkcja wektorowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja wektorowa – zespół dwóch lub większej liczby funkcji jednej lub wielu zmiennych, które przypisują zmiennym wektor. Wymiar tego wektora jest równy liczbie funkcji tworzących funkcję wektorową.

Przykładami funkcji wektorowych są funkcje opisujące:

  • krzywe parametryczne – jednej zmiennej t {\displaystyle t} przyporządkowuje się 2 funkcje (dla krzywych na płaszczyźnie), 3 funkcje (dla krzywych w przestrzeni), n {\displaystyle n} funkcji (dla krzywych w przestrzeni R n {\displaystyle R^{n}} ),
  • powierzchnie parametryczne – dwu zmiennym t {\displaystyle t} przyporządkowuje się 2 funkcje (dla powierzchni w przestrzeni, np. sfera, elipsoida itp.), 3 funkcje (dla powierzchni w przestrzeni R 4 {\displaystyle R^{4}} ), n {\displaystyle n} funkcji (dla krzywych w przestrzeni R n + 1 {\displaystyle R^{n+1}} ).

W kinematyce: ciału poruszającemu się w przestrzeni można przypisać funkcje wektorowe, zależne od czasu:

  • wektor położenia w przestrzeni,
  • wektor prędkości,
  • wektor przyspieszenia,
  • wektor momentu pędu
  • itp.

Spis treści

Funkcje wektorowe jednej zmiennej | edytuj kod

Funkcje wektorowe o 2 współrzędnych | edytuj kod

Niech t R . {\displaystyle t\in R.}

Funkcja r : R R 2 {\displaystyle \mathbf {r} \colon R\to R^{2}} taka że

r ( t ) = x ( t ) i ^ + y ( t ) j ^ {\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} }

gdzie:

  • x ( t ) , y ( t ) {\displaystyle x(t),y(t)} – funkcje skalarne, zależne od jednej zmiennej t , {\displaystyle t,}
  • i ^ , {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,} j ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} } wersory układu współrzędnych w R 2 , {\displaystyle R^{2},}

jest funkcją wektorową, która przypisuje zmiennej t R {\displaystyle t\in R} wektor r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)} leżący w płaszczyźnie R 2 . {\displaystyle R^{2}.}

Funkcję tą można zapisać w postaci wierszowej

r ( t ) = x ( t ) , y ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)=[x(t),y(t)]}

lub w postaci kolumny

r ( t ) = x ( t ) y ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)={\begin{bmatrix}{x(t)}\\{y(t)}\end{bmatrix}}}

Przykład | edytuj kod

Równanie parametryczne okręgu ma postać:

r ( t ) = x ( t ) i ^ + y ( t ) j ^ {\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} }

gdzie:

x ( t ) = r cos ( t ) {\displaystyle x(t)=r\cdot \cos(t)} y ( t ) = r sin ( t ) {\displaystyle y(t)=r\cdot \sin(t)} t 0 , 2 π ) {\displaystyle t\in \langle 0,2\pi )}

Funkcje wektorowe o 3 współrzędnych | edytuj kod

Funkcja r : R R 3 {\displaystyle \mathbf {r} \colon R\to R^{3}} taka że

r ( t ) = x ( t ) i ^ + y ( t ) j ^ + z ( t ) k ^ {\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} +z(t)\mathbf {\hat {k}} }

gdzie:

  • x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) {\displaystyle x(t),y(t),z(t)} – funkcje skalarne zmiennej t , {\displaystyle t,}
  • i ^ , {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,} j ^ , {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ,} i k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } wersory układu współrzędnych w R 3 , {\displaystyle R^{3},}

jest funkcją wektorową, która przypisuje zmiennej t R {\displaystyle t\in R} wektor r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)} leżący w przestrzeni R 3 . {\displaystyle R^{3}.}

Funkcję tą można zapisać w postaci wierszowej

r ( t ) = x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)=[x(t),y(t),z(t)]}

lub w postaci kolumny

r ( t ) = x ( t ) y ( t ) z ( t ) . {\displaystyle \mathbf {r} (t)={\begin{bmatrix}{x(t)}\\{y(t)}\\{z(t)}\end{bmatrix}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Funkcja wektorowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy