Funkcja wymierna


Funkcja wymierna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja wymiernafunkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Jeśli

g ( x ) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 , {\displaystyle g(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},} h ( x ) = b m x m + b m 1 x m 1 + + b 1 x + b 0 {\displaystyle h(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}}

funkcjami wielomianowymi o współczynnikach z dowolnego ciała K , {\displaystyle K,} przy czym h ( x ) 0 {\displaystyle h(x)\not \equiv 0} (tj. nie wszystkie b i {\displaystyle b_{i}} są zerami), to funkcję

f ( x ) = g ( x ) h ( x ) , {\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}},}

nazywa się funkcją wymierną[1].

Dziedziną funkcji f ( x ) {\displaystyle f(x)} jest dziedzina funkcji g ( x ) {\displaystyle g(x)} z wyłączeniem miejsc zerowych funkcji h ( x ) . {\displaystyle h(x).}

Przykłady i zastosowania | edytuj kod

  • Funkcja f ( x ) = 2 ( 1 + 3 x ) 3 ( 1 x ) 2 {\displaystyle f(x)={\tfrac {2(1+3x)}{3(1-x)^{2}}}} jest wymierna.
  • Wyrażenie ( 1 + x ) y {\displaystyle (1+x)^{y}} nie jest wymierne, stąd funkcja je realizująca również nie jest wymierna.
  • Dowolny wielomian (funkcja wielomianowa) jest wyrażeniem wymiernym (funkcją wymierną).
  • Jeśli g {\displaystyle g} jest dowolnym wielomianem, a h {\displaystyle h} jest wielomianem stałym (jest zerowego stopnia), to wyrażenie wymierne f = g h {\displaystyle f={\tfrac {g}{h}}} również jest wielomianem. Zdanie to jest również prawdziwe dla funkcji wielomianowych i wymiernych reprezentujących wielomiany i wyrażenia wymierne.
  • Funkcja f ( x ) = a x + b c x + d {\displaystyle f(x)={\tfrac {ax+b}{cx+d}}} jest wymierna. Jeżeli a d b c 0 {\displaystyle ad-bc\neq 0} to nazywa się ją funkcją homograficzną (dla c = 0 {\displaystyle c=0} jest to funkcja liniowa).

Własności | edytuj kod

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. W wielu źródłach funkcję wymierną definiuje się ogólniej jako funkcję wielu zmiennych. Np. Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka, NT, Warszawa 2000.
Na podstawie artykułu: "Funkcja wymierna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy