Funkcje cyklometryczne


Funkcje cyklometryczne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

  • arcus sinus (arcsin) jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale π 2 , π 2 . {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right].} W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale 1 ; 1 {\displaystyle \left[-1;1\right]} (czyli obrazie przedziału π 2 , π 2 {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]} przez funkcję sin {\displaystyle \sin } ).
  • arcus cosinus (arccos) jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale 0 , π . {\displaystyle \left[0,\pi \right].} W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale 1 ; 1 {\displaystyle \left[-1;1\right]} (czyli obrazie przedziału 0 , π {\displaystyle \left[0,\pi \right]} przez funkcję cos {\displaystyle \cos } ).
  • arcus tangens (arctg) jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale ( π 2 , π 2 ) . {\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right).} W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze R {\displaystyle \mathbb {R} } (czyli obrazie przedziału ( π 2 , π 2 ) {\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)} przez funkcję tg {\displaystyle \operatorname {tg} } ).
  • arcus cotangens (arcctg) jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale ( 0 , π ) . {\displaystyle \left(0,\pi \right).} W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze R {\displaystyle \mathbb {R} } (czyli obrazie przedziału ( 0 , π ) {\displaystyle \left(0,\pi \right)} przez funkcję ctg {\displaystyle \operatorname {ctg} } ).
  • arcus secans (arcsec) jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale 0 , π . {\displaystyle \left[0,\pi \right].} W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): 0 , π 2 ) , {\displaystyle \left[0,{\tfrac {\pi }{2}}\right),} ( π 2 , π , {\displaystyle \left({\tfrac {\pi }{2}},\pi \right],} wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale ( , 1 1 , + ) {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)} (czyli obrazie przedziału 0 , π {\displaystyle \left[0,\pi \right]} przez funkcję sec {\displaystyle \sec } ).
  • arcus cosecans (arccsc) jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale π 2 , π 2 . {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right].} W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): π 2 , 0 ) , {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},0\right),} ( 0 , π 2 , {\displaystyle \left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right],} wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale ( , 1 1 , + ) {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)} (czyli obrazie przedziału π 2 , π 2 {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]} przez funkcję cosec {\displaystyle \operatorname {cosec} } ).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

  • arcsin   x = y {\displaystyle \arcsin \ x=y\quad } gdy sin   y = x {\displaystyle \quad \sin \ y=x}
  • arccos   x = y {\displaystyle \arccos \ x=y\quad } gdy cos   y = x {\displaystyle \quad \cos \ y=x}
  • arctg   x = y {\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=y\quad \;\,} gdy tg   y = x {\displaystyle \quad \operatorname {tg} \ y=x}
  • arcctg   x = y {\displaystyle \operatorname {arcctg} \ x=y\quad } gdy ctg   y = x {\displaystyle \quad \operatorname {ctg} \ y=x}
  • arcsec   x = y {\displaystyle \operatorname {arcsec} \ x=y\quad } gdy sec   y = x {\displaystyle \quad \sec \ y=x}
  • arccsc   x = y {\displaystyle \operatorname {arccsc} \ x=y\quad } gdy csc   y = x {\displaystyle \quad \csc \ y=x}

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów możemy nie stawiać, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

  • arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest 1 , 1 , {\displaystyle \left[-1,1\right],} a przeciwdziedziną π 2 , π 2 . {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}
  • arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest 1 , 1 , {\displaystyle \left[-1,1\right],} a przeciwdziedziną 0 , π . {\displaystyle \left[0,\pi \right].}
  • arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} a przeciwdziedziną ( π 2 , π 2 ) . {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right).}
  • arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} a przeciwdziedziną ( 0 , π ) . {\displaystyle \left(0,\pi \right).}
  • arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów: ( , 1 , {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right],} 1 , + ) . {\displaystyle \left[1,+\infty \right).} Jej dziedziną jest ( , 1 1 , + ) , {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right),} a przeciwdziedziną 0 , π { π 2 } . {\displaystyle \left[0,\pi \right]\setminus \{{\frac {\pi }{2}}\}.}
  • arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów: ( , 1 , {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right],} 1 , + ) . {\displaystyle \left[1,+\infty \right).} Jej dziedziną jest ( , 1 1 , + ) , {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right),} a przeciwdziedziną π 2 , π 2 { 0 } . {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}.}

Spis treści

Zależności między funkcjami cyklometrycznymi | edytuj kod

arcsin   x + arccos   x = π 2 dla    x < 1 ; 1 > {\displaystyle \arcsin \ x+\arccos \ x={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{dla }}\ x\in <-1;1>} arctg   x + arcctg   x = π 2 dla    x R {\displaystyle \operatorname {arctg} \ x+\operatorname {arcctg} \ x={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{dla }}\ x\in \mathbb {R} } arcsec   x + arccosec   x = π 2 {\displaystyle \operatorname {arcsec} \ x+\operatorname {arccosec} \ x={\frac {\pi }{2}}}

Argumenty ujemne | edytuj kod

arcsin   ( x ) = arcsin   x {\displaystyle \arcsin \ (-x)=-\arcsin \ x} arccos   ( x ) = π arccos   x {\displaystyle \arccos \ (-x)=\pi -\arccos \ x} arctg   ( x ) = arctg   x {\displaystyle \operatorname {arctg} \ (-x)=-\operatorname {arctg} \ x} arcctg   ( x ) = π arcctg   x {\displaystyle \operatorname {arcctg} \ (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \ x} arcsec   ( x ) = π arcsec   x {\displaystyle \operatorname {arcsec} \ (-x)=\pi -\operatorname {arcsec} \ x} arccosec   ( x ) = arccosec   x {\displaystyle \operatorname {arccosec} \ (-x)=-\operatorname {arccosec} \ x}

Odwrotności argumentów | edytuj kod

arcsin   1 x = arccosec   x {\displaystyle \arcsin \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccosec} \ x} arccos   1 x = arcsec   x {\displaystyle \arccos \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} \ x} arctg   1 x = arcctg   x   ;   x > 0 {\displaystyle \operatorname {arctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcctg} \ x\ ;\ x>0} arctg   1 x = arcctg   x π   ;   x < 0 {\displaystyle \operatorname {arctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcctg} \ x-\pi \ ;\ x<0} arcctg   1 x = arctg   x   ;   x > 0 {\displaystyle \operatorname {arcctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arctg} \ x\ ;\ x>0} arcctg   1 x = arctg   x + π   ;   x < 0 {\displaystyle \operatorname {arcctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arctg} \ x+\pi \ ;\ x<0} arcsec   1 x = arccos   x {\displaystyle \operatorname {arcsec} \ {\frac {1}{x}}=\arccos \ x} arccosec   1 x = arcsin   x {\displaystyle \operatorname {arccosec} \ {\frac {1}{x}}=\arcsin \ x}

Pochodne i całki | edytuj kod

Pochodne | edytuj kod

  • arcsin x = 1 1 x 2 {\displaystyle \arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  • arccos x = 1 1 x 2 {\displaystyle \arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  • arctg x = 1 x 2 + 1 {\displaystyle \operatorname {arctg} 'x={\frac {1}{x^{2}+1}}}
  • arcctg x = 1 x 2 + 1 {\displaystyle \operatorname {arcctg} 'x={\frac {-1}{x^{2}+1}}}


Całki | edytuj kod

  • arcsin x d x = 1 x 2 + x arcsin x + C {\displaystyle \int \arcsin xdx={\sqrt {1-x^{2}}}+x\arcsin x+C}
  • arcsin x d x = x arccos x 1 x 2 + C {\displaystyle \int \arcsin xdx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
  • arctg x d x = x arctg x 1 2 log ( 1 + x 2 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arctg} xdx=x\operatorname {arctg} x-{\frac {1}{2}}\log {(1+x^{2})}+C}
  • arcctg x d x = x arcctg x + 1 2 log ( 1 + x 2 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arcctg} xdx=x\operatorname {arcctg} x+{\frac {1}{2}}\log {(1+x^{2})}+C}

Przykłady | edytuj kod

  • arcsin 0 = 0 {\displaystyle \arcsin \;0=0}
  • arcsin 1 2 = π 6 {\displaystyle \arcsin \;{\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{6}}}
  • arcsin 1 = π 2 {\displaystyle \arcsin \;1={\frac {\pi }{2}}}
  • arccos 0 = π 2 {\displaystyle \arccos \;0={\frac {\pi }{2}}}
  • arccos 1 2 = π 3 {\displaystyle \arccos \;{\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{3}}}
  • arccos ( 1 ) = π {\displaystyle \arccos \;(-1)=\pi }
  • arctg 0 = 0 {\displaystyle \operatorname {arctg} \;0=0}
  • arctg 1 = π 4 {\displaystyle \operatorname {arctg} \;1={\frac {\pi }{4}}}
  • arcctg 0 = π 2 {\displaystyle \operatorname {arcctg} \;0={\frac {\pi }{2}}}
  • arcctg 1 = π 4 {\displaystyle \operatorname {arcctg} \;1={\frac {\pi }{4}}}

Oto wykresy kolejnych funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych, które parami są symetryczne względem prostej y = x . {\displaystyle y=x.}

Funkcje: y = sin ( x ) i y = arcsin ( x ) {\displaystyle y=\sin(x)\;\;i\;\;y=\arcsin(x)} Funkcje: y = cos ( x ) i y = arccos ( x ) {\displaystyle y=\cos(x)\;\;i\;\;y=\arccos(x)} Funkcje: y = tg ( x ) i y = arctg ( x ) {\displaystyle y=\operatorname {tg} (x)\;\;i\;\;y=\operatorname {arctg} (x)} Funkcje: y = ctg ( x ) i y = arcctg ( x ) {\displaystyle y=\operatorname {ctg} (x)\;\;i\;\;y=\operatorname {arcctg} (x)}
Na podstawie artykułu: "Funkcje cyklometryczne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy