Funkcje minimum i maksimum


Funkcje minimum i maksimum w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcje minimum i maksimum – funkcje przypisujące zbiorowi częściowo uporządkowanemu jego odpowiednio element najmniejszy i największy (o ile takie elementy istnieją). Często w zastosowaniach praktycznych rozważany zbiór ma skończenie wiele elementów (np. tylko dwa).

Spis treści

Zbiory liczbowe | edytuj kod

Minimum i maksimum formalnie są funkcjami przypisującymi parze liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } odpowiednio mniejszą (w przypadku minimum) i większą (w przypadku maksimum) z tych liczb. Dokładniej, dla x , y R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } funkcje te dane są wzorami:

min ( x , y ) = { y , gdy  x y x , gdy  y x {\displaystyle \min(x,y)={\begin{cases}y,&{\mbox{gdy }}x\geqslant y\\x,&{\mbox{gdy }}y\geqslant x\end{cases}}} max ( x , y ) = { x , gdy  x y y , gdy  y x {\displaystyle \max(x,y)={\begin{cases}x,&{\mbox{gdy }}x\geqslant y\\y,&{\mbox{gdy }}y\geqslant x\end{cases}}}

Funkcje minimum i maksimum można zapisać jawnymi wzorami:

min ( x , y ) = x + y | x y | 2 {\displaystyle \min(x,y)={\frac {x+y-|x-y|}{2}}} max ( x , y ) = x + y + | x y | 2 {\displaystyle \max(x,y)={\frac {x+y+|x-y|}{2}}} .

Odwrotnie, wartość bezwzględną można wyrazić za pomocą funkcji maksimum i minimum:

| x | = max ( x , x )   = min ( x , x ) ; {\displaystyle |x|=\max(-x,x)\ =-\min(-x,x);} .

Ponadto,

max ( x , y ) = x + y min ( x , y ) {\displaystyle \max(x,y)=x+y-\min(x,y)\;} min ( x , y ) = x + y max ( x , y ) {\displaystyle \min(x,y)=x+y-\max(x,y)\;} .

Definicję te można łatwo uogólnić na funkcje skończenie wielu argumentów. Wystarczy zauważyć, że

max ( x , y , z ) = max ( max ( x , y ) , z ) = max ( x , max ( y , z ) ) {\displaystyle \max(x,y,z)=\max(\max(x,y),z)=\max(x,\max(y,z))\;} .

W ten sposób można zdefiniować rekurencyjnie np.

max ( x , y , z ) = max ( max ( x , y ) , z ) {\displaystyle \max(x,y,z)=\max(\max(x,y),z)\;} max ( x , y , z , u ) = max ( max ( x , y , z ) , u ) = max ( max ( x , y ) , max ( z , u ) ) {\displaystyle \max(x,y,z,u)=\max(\max(x,y,z),u)=\max(\max(x,y),\max(z,u))\;} itp.

Podobnie ma się rzecz z funkcją min {\displaystyle \min } . Przypadek zbiorów nieskończonych omówiony jest niżej.

W gruncie rzeczy porządek argumentów nie jest istotny, z tego względu funkcje max , min {\displaystyle \max ,\min } definiuje się jako funkcje zbiorów skracając ich zapis przez pominięcie nawiasów:

max A , min { 1 , 3 , 6 } {\displaystyle \max A,\min\{1,3,6\}\;} .

Definicja ogólna | edytuj kod

Dla dowolnego zbioru P {\displaystyle P} z danym częściowym porządkiem minimum i maksimum można zdefiniować jako odpowiednio element najmniejszy lub największy:

min ( P ) = x x P p P x p {\displaystyle \min(P)=x\Leftrightarrow x\in P\land \forall _{p\in P}\;x\leqslant p} max ( P ) = x x P p P x p {\displaystyle \max(P)=x\Leftrightarrow x\in P\land \forall _{p\in P}\;x\geqslant p}

Dla skończonych zbiorów, jeśli porządek jest liniowy, minimum i maksimum zawsze istnieje. Dla zbiorów nieskończonych już tak nie jest. Np. odcinki (przedziały) obustronnie otwarte ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} nie mają ani maksimum ani minimum.

Dla skończonego zbioru zachodzi ponadto:

min ( P ) = inf ( P ) {\displaystyle \min(P)=\inf(P)} max ( P ) = sup ( P ) {\displaystyle \max(P)=\sup(P)}

czyli minimum pokrywa się z kresem dolnym zbioru, a maksimum z kresem górnym zbioru. Nie zawsze jest to prawda dla zbiorów nieskończonych, gdzie niekiedy istnieje kres dolny, jednak nie istnieje minimum lub też istnieje kres górny, a nie istnieje maksimum.

Minimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem dolnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu p {\displaystyle p} dla p {\displaystyle p\to -\infty } .

Maksimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem górnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu p {\displaystyle p} dla p {\displaystyle p} dla p + {\displaystyle p\to +\infty } .

Działania | edytuj kod

Można też traktować minimum i maksimum jako dwa działania algebraiczne. Każde z nich jest wewnętrzne, łączne i przemienne, nie posiada jednak elementu odwrotnego, a często także elementu neutralnego, więc tworzy półgrupę przemienną. Niekiedy istnieje element neutralny - jest to dla minimum największy element dziedziny, a dla maksimum jej najmniejszy element.

Niektóre języki programowania stosują do minimum i maksimum składnię funkcji (np. C, Java), a niektóre składnię operatora działania (np. SAS 4GL).

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Funkcje minimum i maksimum" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy