Funkcjonał


Funkcjonał w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcjonał (forma) – przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń: wektorom przyporządkowuje skalary – liczby rzeczywiste lub zespolone. Gdy przestrzenią wektorową jest przestrzeń funkcji, to argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem funkcjonał uważany jest za funkcję funkcji.

Funkcjonał w takim wypadku jest szczególnym przypadkiem operatora, czyli przekształcenia, które funkcji przyporządkowuje inną funkcję (np. operator różniczkowy funkcji przypisuje jej funkcję pochodną).

Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym, który polega na znajdowaniu ekstremum funkcjonału, zwanego działaniem Hamiltona (tzw. zasada najmniejszego działania). Szczególnie istotnym zastosowaniem w fizyce jest znajdowanie stanu układu, dla którego funkcjonał energii osiąga minimum.

Spis treści

Przykłady | edytuj kod

Dualność | edytuj kod

 Osobny artykuł: Moduł dualny.

(1) Funkcja

x 0 f ( x 0 ) {\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}

przekształca argument x 0 {\displaystyle x_{0}} na wartość funkcji f {\displaystyle f} punkcie x 0 . {\displaystyle x_{0}.}

(2) Możliwe jest przyporządkowanie danej funkcji f {\displaystyle f} całej rodziny funkcji, takiej że poszczególne funkcje zależą od argumentu x 0 , {\displaystyle x_{0},} tj.

f , x 0 g ( x 0 ) . {\displaystyle f,x_{0}\mapsto g(x_{0}).}

Jeśli f {\displaystyle f} jest przekształceniem liniowym z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie f , x 0 g ( x 0 ) {\displaystyle f,x_{0}\mapsto g(x_{0})} wyznaczone przez dany argument x 0 {\displaystyle x_{0}} odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym pomiędzy argumentem a funkcją; funkcję g {\displaystyle g} nazywa się wtedy dualną do funkcji f , {\displaystyle f,} a obydwie funkcje są funcjonałami liniowymi.

Całka oznaczona | edytuj kod

 Osobny artykuł: Całka oznaczona.

Całki postaci

f I f = a b H ( f ( x ) , f ( x ) , ) d x , {\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{a}^{b}H(f(x),f'(x),\dots )\;{\text{d}}x,}

gdzie:

H {\displaystyle H} – funkcja o wartościach rzeczywistych,

tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję f {\displaystyle f} na liczbę rzeczywistą.

W szczególności należą do tej klasy:

  • pole pod wykresem nieujemnej funkcji f {\displaystyle f}
f S ( f ) = a b f ( x ) d x , {\displaystyle f\mapsto S(f)=\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x,} f f p = ( a b | f ( x ) | p d x ) 1 / p , {\displaystyle f\mapsto \|f\|_{p}=\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p},} f L ( f ) = a b 1 + | f ( x ) | 2 d x . {\displaystyle f\mapsto L(f)=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x.}

Iloczyn skalarny | edytuj kod

 Osobny artykuł: Iloczyn skalarny.

Dla danego wektora x {\displaystyle {\vec {x}}} z przestrzeni wektorowej X , {\displaystyle X,} iloczyn skalarny x {\displaystyle {\vec {x}}} z wektorem y {\displaystyle {\vec {y}}} oznaczony x y {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}} lub x , y {\displaystyle \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle } jest skalarem. Dlatego x {\displaystyle {\vec {x}}} wyznacza funkcjonał:

y x y . {\displaystyle {\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}.}

Równanie funkcyjne | edytuj kod

 Osobny artykuł: Równanie funkcyjne.

Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci F = G {\displaystyle F=G} są funkcje, dla których wartości funkcjonałów F {\displaystyle F} i G {\displaystyle G} są równe. Na przykład funkcja jest addytywna, jeśli spełnia równanie funkcyjne:

f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) . {\displaystyle f\left(x+y\right)=f(x)+f(y).}

Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalna | edytuj kod

Pochodna funkcjonalna niesie informację o zmianie wartości funkcjonału przy niewielkiej zmianie funkcji będącej jego argumentem. Pochodne funkcjonalne używane są w mechanice klasycznej i rachunku wariacyjnym.

Richard Feynman zastosował całki funkcjonalne w swoim sformułowaniu mechaniki kwantowej. Zastosowanie to przewiduje całkowanie nad pewną przestrzenią funkcyjną.

Forma a funkcjonał | edytuj kod

W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał:

(1) Gleichgewicht[1] wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od zwrotu forma. Ten ostatni zwrot oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:

[...] napiszemy wzór (10.1) w postaci f ( x ) = α 1 ξ 1 + α 2 ξ 2 + + α n ξ n {\displaystyle f(x)=\alpha _{1}\xi _{1}+\alpha _{2}\xi _{2}+\ldots +\alpha _{n}\xi _{n}} zwanej formą liniową, [...]

a potem

(10.4) φ ( x , y ) = i , j = 1 n α i j ξ i η j . {\displaystyle \varphi (x,y)=\sum _{i,j=1}^{n}\alpha _{ij}\xi _{i}\eta _{j}.} [...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową.

Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. f , φ {\displaystyle f,\varphi } powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.

(2) Lang[2] używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej V {\displaystyle V} (nad ciałem K {\displaystyle K} ) w ciało K . {\displaystyle K.} Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd.).

  • Natomiast Komorowski[3] używa jedynie określenia forma, pisząc
Elementy przestrzeni V {\displaystyle V^{*}} nazywamy formami liniowymi na V ; {\displaystyle V;} często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.

W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:

Elementy p.w. L ( V 1 , , V n ; K ) {\displaystyle L(V_{1},\dots ,V_{n};K)} nazywamy formami n-liniowymi.

(3) Musielak[4] pisze

[...] operator liniowy T : X K {\displaystyle T\colon X\longrightarrow {\mathbf {K} }} nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.

Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, wydanie III, s. 175–177, ​ISBN 83-01-03903-5​.
  2. Serge Lang: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973.
  3. Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 68.
  4. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, s. 120.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Funkcjonał" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy