Graf hamiltonowski


Graf hamiltonowski w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Graf hamiltonowskigraf rozważany w teorii grafów zawierający ścieżkę (drogę) przechodzącą przez każdy wierzchołek dokładnie jeden raz zwaną ścieżką Hamiltona. W szczególności grafem hamiltonowskim jest graf zawierający cykl Hamiltona, tj. zamkniętą ścieżkę Hamiltona. W niektórych źródłach graf zawierający tylko ścieżkę Hamiltona nazywany jest grafem półhamiltonowskim[1].

Graf skierowany posiadający ścieżkę Hamiltona. Niebieskie kropki to wierzchołki grafu, strzałki to krawędzie grafu, a ścieżkę hamiltona oznaczono kolorem czerwonym.

Aby lepiej zrozumieć właściwości grafu hamiltonowskiego można się posłużyć przykładem komiwojażera, który chce odwiedzić wszystkich swoich klientów, ale tylko raz (problem komiwojażera). Klienci, to wierzchołki grafu, a drogi między nimi są jego krawędziami. Jeżeli graf jest hamiltonowski, to znaczy, że komiwojażer może obejść wszystkich klientów bez mijania drugi raz żadnego z nich i wrócić do punktu wyjścia.

Spis treści

Przykłady grafów hamiltonowskich | edytuj kod

Przykładowy cykl Hamiltona w grafie dwunastościanu foremnego

Grafem hamiltonowskim w szczególności jest każdy graf:

Złożoność czasowa | edytuj kod

Nie są znane algorytmy umożliwiające jednoznaczne rozwiązanie problemu znajdowania najkrótszej możliwej ścieżki Hamiltona w czasie wielomianowym i działające dla wszystkich możliwych grafów (problem ścieżki Hamiltona jest NP zupełny). W praktyce najczęściej stosowane są algorytmy genetyczne, często wykorzystywane w połączeniu z heurystycznymi (np. heurystyka najbliższego sąsiada). Są to jednak metody dające w większości jedynie rozwiązania bliskie optymalnemu. Znalezienie najlepszego, możliwego rozwiązania, zależy głównie od liczby punktów oraz czasem szczęścia na skutek generacji populacji początkowej, krzyżowania oraz mutacji w algorytmach genetycznych.

Problem złożoności czasowej znajdowania rozwiązania problemu grafu hamiltonowskiego wiąże się z brakiem twierdzenia takiego jak twierdzenie Eulera dla grafów Eulera. Owo twierdzenie pozwala w czasie liniowym (tj. zależnym liniowo od, w tym przypadku, liczby wierzchołków) znaleźć odpowiedź na pytanie, czy graf jest eulerowski. W przypadku grafów Hamiltona twierdzenie takie prawdopodobnie nie istnieje.

Znalezienie algorytmu znajdowania drogi Hamiltona w czasie wielomianowym jest „Świętym Graalem” informatyki, i chociaż powstały już setki publikacji opisujących rzekomo taki właśnie algorytm, problem jest nadal otwarty. Według znakomitej części specjalistów taki algorytm nie istnieje („gdyż, zgodnie z rachunkiem prawdopodobieństwa, ktoś już by taki algorytm znalazł”), jednak do czasu udowodnienia, że takowy algorytm nie istnieje, lub udowodnienia, że taki dowód nie może zostać przeprowadzony, należy wstrzymać się z kategorycznymi osądami.

Przykładowy cykl hamiltonowski w grafie Mycielskiego

Oznaczenia | edytuj kod

Niech G {\displaystyle G} oznacza graf, V ( G ) {\displaystyle V(G)} zbiór jego wierzchołków, E ( G ) {\displaystyle E(G)} zbiór krawędzi, | A | {\displaystyle |A|} moc zbioru, v i {\displaystyle v_{i}} pojedynczy (w tym przypadku i {\displaystyle i} -ty) wierzchołek grafu, a deg ( v ) {\displaystyle \deg(v)} stopień wierzchołka (liczbę kończących się w nim krawędzi). Tradycyjnie oznacza się | V ( G ) |   =   n {\displaystyle |V(G)|\ =\ n} oraz | E ( G ) |   =   m , {\displaystyle |E(G)|\ =\ m,} zapis { v , u } {\displaystyle \{v,u\}} będący zbiorem dwuelementowym wierzchołków, używa się do oznaczenia krawędzi między v {\displaystyle v} i u {\displaystyle u} (w przypadku digrafów jest to para uporządkowana, gdyż liczy się kolejność oznaczająca kierunek krawędzi).

Indeksowanie wierzchołków | edytuj kod

Ścieżka/cykl Hamiltona może być jednoznacznie wyznaczona przez indeksowanie wierzchołków – tj. nadanie im indeksów, powiedzmy v 0 , v 1 , , v n , {\displaystyle v_{0},v_{1},\dots ,v_{n},} takich, że istnieje ścieżka Hamiltona przechodząca w takiej właśnie kolejności przez wierzchołki grafu.

Gdy znane jest indeksowanie v 0 , v 1 , , v n {\displaystyle v_{0},v_{1},\dots ,v_{n}} wyznaczające ścieżkę Hamiltona, to znalezienie (lub potwierdzenie nieistnienia) cyklu Hamiltona jest trywialne i sprowadza się do sprawdzenia, czy istnieje krawędź { v n , v 0 } {\displaystyle \{v_{n},v_{0}\}} – zajmuje to, w zależności od sposobu reprezentacji grafu, czas stały lub O ( n ) , {\displaystyle O(n),} gdzie n {\displaystyle n} to liczba wierzchołków danego grafu (zobacz: Notacja dużego O).

Warunek konieczny | edytuj kod

Jeżeli graf G {\displaystyle G} jest hamiltonowski to dla każdego niepustego podzbioru V {\displaystyle V'} zbioru wierzchołków V ( G ) {\displaystyle V(G)} zachodzi

ω ( V ( G )     V ) | V | , {\displaystyle \omega (V(G)\ -\ V')\leqslant |V'|,}

gdzie ω ( G ) {\displaystyle \omega (G)} oznacza liczbę spójnych składowych grafu G . {\displaystyle G.}

Warunki wystarczające | edytuj kod

Istnieją jednak twierdzenia pozwalające na podstawie cech grafu, dostępnych w czasie liniowym, stwierdzić jednoznacznie, że dany graf jest hamiltonowski. Należy pamiętać, że jest to implikacja jednostronna – istnieje nieskończenie wiele grafów hamiltonowskich, które nie mają poniższych cech.

Twierdzenia te są matematycznym obrazem dość naturalnej obserwacji dotyczącej własności grafów – jest logiczne, że im więcej jest krawędzi w grafie, tym „większe są szanse” na znalezienie wśród nich drogi Hamiltona. W skrócie (i nieformalnie), poniższe twierdzenia mówią, że graf jest hamiltonowski, jeżeli tylko ma on odpowiednio dużo krawędzi w stosunku do liczby wierzchołków.

Najważniejsze z nich to:

Szczególne przypadki | edytuj kod

Oczywiste jest, że żaden graf niespójny nie jest hamiltonowski. Dodawanie krawędzi (w szczególności krawędzi wielokrotnych i pętli) do grafu Hamiltona w oczywisty sposób nie może uczynić z niego grafu niehamiltonowskiego. Każdy graf pełny o V {\displaystyle V} wierzchołkach zawiera V! cykli Hamiltona, gdyż dla każdej permutacji indeksów wierzchołków, v 1 , v 2 , , v V , v 1 {\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{V},v_{1}} wyznacza istniejącą drogę, będącą cyklem Hamiltona. Każdy turniej ma ścieżkę Hamiltona.

Algorytmy znajdowania ścieżki Hamiltona | edytuj kod

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Reinhard Diestel: Graph Theory. Nowy Jork: 2000, s. 213. ISBN 0-387-95014-1.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Graf hamiltonowski" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy