Granica ciągu


Granica ciągu w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Granica ciągu – wartość, w dowolnym otoczeniu której znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu. Inaczej – wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

Spis treści

Sekwencja określona przez obwody boków foremnych figur, ma granicę równą obwodowi okręgu, tj. 2 π r . {\displaystyle 2\pi r.} Odpowiednia sekwencja dla wielokątów opisanych na okręgu ma taką samą granicę.

Dodatnia liczba całkowita n {\displaystyle n} staje się coraz większa, wartość n sin ( 1 n ) {\displaystyle n\cdot \sin {\big (}{\tfrac {1}{n}}{\big )}} staje się coraz bliższa 1. {\displaystyle 1.} Mówimy, że granica ciągu n sin ( 1 n ) {\displaystyle n\cdot \sin {\big (}{\tfrac {1}{n}}{\big )}} jest równa 1. {\displaystyle 1.}

Granica (właściwa) i zbieżność | edytuj kod

Niech ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} będzie nieskończonym ciągiem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę g {\displaystyle g} nazywa się granicą ciągu ( a n ) , {\displaystyle (a_{n}),} jeżeli

ε > 0 N n > N | a n g | < ε , {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;|a_{n}-g|<\varepsilon ,}

gdzie symbol | | {\displaystyle |\cdot |} oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, bądź moduł liczby zespolonej.

W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy a n {\displaystyle a_{n}} leżą w kole K ( g , ε ) , {\displaystyle K(g,\varepsilon ),} z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w przedziale ( g ε ,   g + ε ) , {\displaystyle (g-\varepsilon ,\ g+\varepsilon ),} który jest odpowiednikiem koła dla osi liczbowej.

Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:

dla dowolnej dodatniej liczby ε {\displaystyle \varepsilon } istnieje taki wskaźnik N , {\displaystyle N,} że dla wszystkich wskaźników n {\displaystyle n} większych od N {\displaystyle N} wyrazy a n {\displaystyle a_{n}} leżą w kole o środku g {\displaystyle g} i promieniu ε . {\displaystyle \varepsilon .}

Granicę ciągu ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} oznacza się lim n a n {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}} i czyta się: „limes a n {\displaystyle a\;n} przy n {\displaystyle n} dążącym do nieskończoności” lub po prostu lim a n {\displaystyle \lim a_{n}} i czyta się: „limes a n {\displaystyle a\;n} ”, a fakt, że g {\displaystyle g} jest granicą ciągu ( a n ) , {\displaystyle (a_{n}),} niekiedy oznacza się a n n g {\displaystyle a_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}g} lub a n g {\displaystyle a_{n}\to g} i czyta się: „ciąg a n {\displaystyle a_{n}} dąży do g {\displaystyle g} ” lub „ciąg a n {\displaystyle a_{n}} jest zbieżny do g {\displaystyle g} ” (można dodać: „przy n {\displaystyle n} dążącym do nieskończoności”).

Ciągi mające granice nazywa się zbieżnymi, a pozostałe – rozbieżnymi. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie granicy górnej i dolnej, czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie punktu skupienia. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.

Wykres ciągu zbieżnego a n {\displaystyle a_{n}} w kolorze niebieskim. Widzimy, że gdy n {\displaystyle n} wzrasta, wartości ciągu zbliżają się do granicy 0.

Niekiedy, dla odróżnienia od granicy niewłaściwej opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się granicą właściwą.

Granice niewłaściwe | edytuj kod

Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej. Chodzi o ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; o takich ciągach mówi się także, że dążą one do nieskończoności.

Liczby rzeczywiste
 Zobacz też: rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych.

Jeżeli ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego N {\displaystyle N} są większe od dowolnej z góry wybranej liczby, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w + , {\displaystyle +\infty ,} bądź że jest rozbieżny do + . {\displaystyle +\infty .}

Jeżeli zaś są mniejsze od dowolnej z góry wybranej liczby, to mówi się, że ma on granicę niewłaściwą w , {\displaystyle -\infty ,} lub że jest rozbieżny do . {\displaystyle -\infty .}

Formalnie można to zapisać tak:

ciąg ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} o wyrazach rzeczywistych ma
  • granicę niewłaściwą w + {\displaystyle +\infty } , jeżeli M R N n > N a n > M , {\displaystyle \forall _{M\in \mathbb {R} }\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;a_{n}>M,}
  • granicę niewłaściwą w {\displaystyle -\infty } , jeżeli M R N n > N a n < M . {\displaystyle \forall _{M\in \mathbb {R} }\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;a_{n}<M.}
Liczby zespolone
 Zobacz też: rozszerzony zbiór liczb zespolonych.

Jeżeli ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} jest ciągiem liczb zespolonych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego N {\displaystyle N} są większe co do modułu od dowolnej z góry wybranej liczby rzeczywistej, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w , {\displaystyle \infty ,} bądź że jest rozbieżny do . {\displaystyle \infty .}

Formalnie:

ciąg ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} o wyrazach zespolonych ma
  • granicę niewłaściwą w {\displaystyle \infty } , jeżeli M R N n > N | a n | > M . {\displaystyle \forall _{M\in \mathbb {R} }\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;|a_{n}|>M.} Tutaj | a n | {\displaystyle |a_{n}|} oznacza moduł liczb zespolonych.

Geometrycznie można to ująć w następujący sposób:

ciąg ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} ma granicę niewłaściwą, jeśli dla dowolnie dużego koła o środku w 0 {\displaystyle 0} prawie wszystkie wyrazy ciągu a n {\displaystyle a_{n}} leżą na zewnątrz tego koła.

Wprowadzoną powyżej definicję rozbieżności ciągów zespolonych można bez zmian zastosować dla ciągów rzeczywistych, zastępując jedynie moduł liczby zespolonej | a n | {\displaystyle |a_{n}|} wartością bezwzględną liczby rzeczywistej. W praktyce jednak tej definicji nie stosuje się, bowiem traci się wówczas możliwość rozróżniania kierunku (zwrotu) rozbieżności ciągu.

Przykłady | edytuj kod

  • Granicą ciągu ( 1 , 2 , 5 , 13 ) {\displaystyle (1,2,5,13)} jest liczba 13. {\displaystyle 13.} W ogólności granicą ciągu skończonego jest jego ostatni wyraz.
  • Granicą ciągu a n = 1 n {\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{n}}} jest 0. {\displaystyle 0.} Dla dowolnego ε {\displaystyle \varepsilon } wystarczy za N {\displaystyle N} wziąć dowolną liczbę naturalną większą od 1 ε . {\displaystyle {\tfrac {1}{\varepsilon }}.} [a] Wówczas dla dowolnego wskaźnika n > N {\displaystyle n>N} otrzymuje się n > 1 ε , {\displaystyle n>{\tfrac {1}{\varepsilon }},} czyli 1 n < ε . {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}<\varepsilon .} Przykładowo dla ε = 1 1000 {\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{1000}}} wszystkie wyrazy ciągu a 1001 , a 1002 , a 1003 , {\displaystyle a_{1001},\,a_{1002},\,a_{1003},\,\dots } oddalone są od zera o nie więcej niż 1 1000 . {\displaystyle {\tfrac {1}{1000}}.}
  • Granicą ciągu b n = n n + 1 {\displaystyle b_{n}={\tfrac {n}{n+1}}} jest 1. {\displaystyle 1.} Dla dowolnego ε {\displaystyle \varepsilon } wystarczy za N {\displaystyle N} wziąć dowolną liczbę naturalną większą od 1 ε 1. {\displaystyle {\tfrac {1}{\varepsilon }}-1.} Wtedy dla dowolnego indeksu n > N {\displaystyle n>N} zachodzi n > 1 ε 1 , {\displaystyle n>{\tfrac {1}{\varepsilon }}-1,} czyli 1 n + 1 < ε , {\displaystyle {\tfrac {1}{n+1}}<\varepsilon ,} skąd n n + 1 > 1 ε . {\displaystyle {\tfrac {n}{n+1}}>1-\varepsilon .} Przykładowo dla ε = 1 1000 {\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{1000}}} wszystkie wyrazy ciągu a 1000 , a 1001 , a 1002 , {\displaystyle a_{1000},\,a_{1001},\,a_{1002},\,\dots } są oddalone od jedynki nie więcej niż o 1 1000 . {\displaystyle {\tfrac {1}{1000}}.}
  • Ciąg a n = n {\displaystyle a_{n}=n} jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą + . {\displaystyle +\infty .}
  • Ciąg a n = n ( 1 ) n {\displaystyle a_{n}=n(-1)^{n}} jest rozbieżny i nie ma granicy niewłaściwej + {\displaystyle +\infty } ani , {\displaystyle -\infty ,} ale traktowany jako ciąg liczb zespolonych ma granicę niewłaściwą {\displaystyle \infty } (w sensie definicji dla ciągów zespolonych); podciąg a 2 n {\displaystyle a_{2n}} jest zbieżny do + , {\displaystyle +\infty ,} natomiast podciąg a 2 n 1 {\displaystyle a_{2n-1}} jest zbieżny do . {\displaystyle -\infty .}
  • Ciągi a n = ( 1 ) n {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}} oraz b n = ( 1 ) n + ( 1 ) n + 1 n {\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}+{\tfrac {(-1)^{n+1}}{n}}} są rozbieżne i nie mają żadnej granicy – ani właściwej, ani niewłaściwej, przy czym ich granicami dolną i górną są odpowiednio 1 {\displaystyle -1} oraz 1 ; {\displaystyle 1;} w obu przypadkach liczby te są punktami skupienia tych ciągów.
  • Ciąg a n = { n π } , {\displaystyle a_{n}=\{n\pi \},} gdzie { } {\displaystyle \{\cdot \}} oznacza część ułamkową liczby, ma granicę dolną 0 {\displaystyle 0} i górną 1 , {\displaystyle 1,} każdy punkt przedziału 0 , 1 {\displaystyle [0,1]} jest punktem skupienia.
  • Ciąg liczb zespolonych a n = i n {\displaystyle a_{n}=i^{n}} nie ma granicy (ani właściwej ani niewłaściwej), ma jednak 4 punkty skupienia.
  • Ciąg liczb zespolonych a n = n 17 e i n / 17 {\displaystyle a_{n}={\tfrac {n}{17}}\cdot e^{i\cdot n/17}} ma granicę niewłaściwą . {\displaystyle \infty .}

Własności | edytuj kod

  • Ciąg ma najwyżej jedną granicę (właściwą).
  • Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest on ograniczony[b][1]. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bądź zespolonych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony.
  • Dowolny nieskończony podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
  • Jeśli ciągi ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} i ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} są zbieżne oraz a n b n {\displaystyle a_{n}\leqslant b_{n}} dla każdego naturalnego n , {\displaystyle n,} to lim a n lim b n . {\displaystyle \lim a_{n}\leqslant \lim b_{n}.}
  • Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli ciągi ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} i ( c n ) {\displaystyle (c_{n})} są zbieżne do wspólnej granicy g , {\displaystyle g,} przy czym a n b n c n {\displaystyle a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}} dla każdego naturalnego n , {\displaystyle n,} to ciąg ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} również jest zbieżny i to do granicy g . {\displaystyle g.}
  • Jeśli ciągi ( a n ) , ( b n ) {\displaystyle (a_{n}),\,(b_{n})} są ciągami zbieżnymi odpowiednio do a {\displaystyle a} oraz do b , {\displaystyle b,} to wykonalne są działania:
    • lim ( a n + b n ) = a + b , {\displaystyle \lim \,(a_{n}+b_{n})=a+b,}
    • lim ( a n b n ) = a b , {\displaystyle \lim \,(a_{n}-b_{n})=a-b,}
    • lim ( a n b n ) = a b , {\displaystyle \lim \,(a_{n}\cdot b_{n})=a\cdot b,}
    • lim a n b n = a b , {\displaystyle \lim {\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}},} o ile tylko b 0 {\displaystyle b\neq 0} oraz b n 0 {\displaystyle b_{n}\neq 0} dla każdego n . {\displaystyle n.}
  • Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa: z każdego rzeczywistego lub zespolonego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.
  • Każdy ciąg liczb rzeczywistych monotoniczny i ograniczony ma granicę[c][d].
Wykres ciągu Cauchy’ego ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} oznaczono niebieskim kolorem (indeks na osi odciętych, wartość na osi rzędnych). Widzimy, że sekwencja wydaje się zbiegać do punktu granicznego, ponieważ wyrazy ciągu zbliżają się do siebie wraz ze wzrostem n . {\displaystyle n.} W liczbach rzeczywistych każdy ciąg Cauchy’ego zbiega się do pewnej granicy.

Zbieżność w przestrzeniach metrycznych | edytuj kod

Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w dowolnej przestrzeni metrycznej. Wystarczy w definicji granicy zastąpić wartość bezwzględną (moduł) różnicy dwóch liczb odległością według metryki danej przestrzeni. Niech ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} będzie przestrzenią metryczną. Ciąg ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} elementów tej przestrzeni jest zbieżny do g X , {\displaystyle g\in X,} jeśli

ε > 0 N n > N d ( a n , g ) < ε . {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;d(a_{n},g)<\varepsilon .}

Warunkiem równoważnym zbieżności ciągu ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} jest żądanie, by ciąg ( d n ) {\displaystyle (d_{n})} gdzie d n := d ( a n , g ) {\displaystyle d_{n}:=d(a_{n},g)} był zbieżny do 0. {\displaystyle 0.}

Zbieżność w przestrzeni metrycznej można wyrazić:

ciąg x n {\displaystyle x_{n}} jest zbieżny do g , {\displaystyle g,} jeśli w dowolnej kuli o środku w g {\displaystyle g} mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu x n . {\displaystyle x_{n}.}

Jeśli ciąg (w przestrzeni metrycznej) jest zbieżny, to jest ciągiem Cauchy’ego (w przypadku ciągów liczbowych rzeczywistych lub zespolonych zachodzi również twierdzenie odwrotne, to znaczy powyższe warunki są równoważne).

Przykłady

  • Zbiór R {\displaystyle \mathbb {R} } jako przestrzeń metryczna z metryką d ( a , b ) := | a b | . {\displaystyle d(a,b):=|a-b|.} Podobnie ze zbiorem C {\displaystyle \mathbb {C} }
  • Zbiór Q {\displaystyle \mathbb {Q} } liczb wymiernych jako przestrzeń metryczna z metryką d ( a , b ) := | a b | . {\displaystyle d(a,b):=|a-b|.} W tej przestrzeni np. ciąg a n := ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle a_{n}:=(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}} nie jest zbieżny, chociaż jest rosnący i ograniczony.
  • Przestrzeniach liniowa z normą , {\displaystyle \|\cdot \|,} jeśli przyjąć jako metrykę d ( a , b ) = a b . {\displaystyle d(a,b)=\|a-b\|.}
  • Przestrzeń, której elementami są punkty płaszczyzny o współrzędnych całkowitych, z odległością naturalną. W tej przestrzeni metrycznej ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy od pewnego wskaźnika począwszy jest stały.

Zbieżność w przestrzeniach topologicznych | edytuj kod

Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w jeszcze ogólniejszych przestrzeniach topologicznych przez zastąpienie kul otoczeniami.

Niech ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} będzie przestrzenią topologiczną. Ciąg ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} elementów tej przestrzeni jest zbieżny do x X , {\displaystyle x\in X,} jeśli

U τ ( x U N n > N x n U ) . {\displaystyle \forall _{U\in \tau }\;\left(x\in U\Rightarrow \exists _{N}\;\forall _{n>N}\;x_{n}\in U\right).}

co można wyrazić:

dla dowolnego otoczenia U {\displaystyle U} punktu x {\displaystyle x} istnieje taki wskaźnik N , {\displaystyle N,} że dla wszystkich wskaźników n > N {\displaystyle n>N} wyrazy a n {\displaystyle a_{n}} leżą w otoczeniu U , {\displaystyle U,}

lub inaczej:

w dowolnym otoczeniu U {\displaystyle U} punktu x {\displaystyle x} mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu x n . {\displaystyle x_{n}.}

W przestrzeniach Hausdorffa (którymi są m.in. przestrzenie liczb rzeczywistych lub zespolonych) każdy ciąg może być zbieżny do najwyżej jednego punktu[f].

Przykłady

  • Zbiór R {\displaystyle \mathbb {R} } z topologią, w której bazą jest zbiór przedziałów otwartych ( a , b ) ,     a , b R . {\displaystyle (a,b),\ \ a,b\in \mathbb {R} .} Podobnie ze zbiorem C , {\displaystyle \mathbb {C} ,} tutaj bazą może być zbiór kół otwartych postaci { z C : | z g | < r } ,     g C ,   r R {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z-g|<r\},\ \ g\in \mathbb {C} ,\ r\in \mathbb {R} } lub prostokątów postaci { z C : a < Re z < b c < Im z < d } ,     a , b , c , d R . {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :a<\operatorname {Re} z<b\wedge c<\operatorname {Im} z<d\},\ \ a,b,c,d\in \mathbb {R} .}
  • Dowolna przestrzeń z topologią antydyskretną. Tutaj każdy ciąg jest ciągiem zbieżnym.
  • (Uzwarcenie prostej. 1 sposób) Przestrzeń topologiczna R {\displaystyle \mathbb {R} } uzupełniona o dwa elementy , + {\displaystyle -\infty ,+\infty } z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci ( a , ) { + } {\displaystyle (a,\infty )\cup \{+\infty \}} oraz ( , a ) { } ,   a R . {\displaystyle (-\infty ,a)\cup \{-\infty \},\ a\in \mathbb {R} .} Są to otoczenia otwarte punktów odpowiednio {\displaystyle -\infty } i + . {\displaystyle +\infty .} Wówczas zbieżność ciągu do punktu + {\displaystyle +\infty } w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej + . {\displaystyle +\infty .} Analogicznie dla zbieżności do punktu . {\displaystyle -\infty .} W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej R {\displaystyle \mathbb {R} } do R { } { + } {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{+\infty \}} powstaje przestrzeń homeomorficzna z odcinkiem domkniętym oznaczana zazwyczaj R ¯ . {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}.}
  • (Uzwarcenie płaszczyzny) Przestrzeń topologiczna C {\displaystyle \mathbb {C} } uzupełniona o element {\displaystyle \infty } z bazą otoczeń w postaci kół uzupełnioną o zbiory postaci { z C : | z g | > r } { } , g C , r R {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z-g|>r\}\cup \{\infty \},g\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {R} } (zewnętrza kół) lub z bazą w postaci prostokątów uzupełnioną o zbiory postaci { z : Re z < a Re z > b Im z < c Im z > d } { } , a , b , c , d R {\displaystyle \{z:\operatorname {Re} z<a\vee \operatorname {Re} z>b\vee \operatorname {Im} z<c\vee \operatorname {Im} z>d\}\cup \{\infty \},a,b,c,d\in \mathbb {R} } (zewnętrza prostokątów). Są to otoczenia otwarte punktu . {\displaystyle \infty .} Wówczas zbieżność ciągu zespolonego do punktu {\displaystyle \infty } w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej . {\displaystyle \infty .} W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej C {\displaystyle \mathbb {C} } do C { } {\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}} powstaje przestrzeń homeomorficzna ze sferą oznaczana zazwyczaj C {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}} lub C ^ . {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}.}
  • (Uzwarcenie prostej. 2 sposób) Przestrzeń topologiczna R {\displaystyle \mathbb {R} } uzupełniona element {\displaystyle \infty } z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci ( , a ) ( b , + ) { } {\displaystyle (-\infty ,a)\cup (b,+\infty )\cup \{\infty \}} a , b R . {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} .} Są to otoczenia otwarte punktu . {\displaystyle \infty .} Wówczas zbieżność ciągu do punktu {\displaystyle \infty } w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej . {\displaystyle \infty .} W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej R {\displaystyle \mathbb {R} } do R { } {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}} powstaje przestrzeń homeomorficzna z okręgiem oznaczana zazwyczaj R {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} lub R ^ . {\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}

Historia | edytuj kod

Zenon z Elei znany jest ze sformułowania paradoksów, które wykorzystują przejścia graniczne. Leucyp z Miletu, Demokryt z Abdery, Antyfont z Ramnus, Eudoksos z Knidos i Archimedes z Syrakuz wynaleźli metodę wyczerpywania, która wykorzystuje ciąg przybliżeń umożliwiający wyznaczenie powierzchni bądź objętości; ostatniemu z nich znane było również sumowanie, które dziś nazywane jest szeregiem geometrycznym.

Isaac Newton zajmował się szeregami w swoich dziełach dotyczących analizy szeregów nieskończonych (Analysis with infinite series, napisane w 1669 roku, najpierw krążyło jako manuskrypt, opublikowano w 1711 roku), metodzie fluksji i szeregach nieskończonych (Method of fluxions and infinite series, napisane w 1671 roku, wydane w tłumaczeniu angielskim w 1736 roku; oryginał łaciński wydano znacznie później) i traktacie o krzywych kwadratowych (Tractatus de Quadratura Curvarum, napisane w 1693 roku, a opublikowane w 1704 roku jako dodatek do jego Optiks), później rozważał on rozwinięcie dwumienne ( x + o ) n , {\displaystyle (x+o)^{n},} które linearyzuje, biorąc granice, tzn. przyjmując o 0. {\displaystyle o\to 0.}

Osiemnastowiecznym matematykom, takim jak Leonhard Euler, udawało się zsumować pewne szeregi rozbieżne dzięki „zatrzymaniu się w odpowiednim momencie”; nie interesowali się oni nadto tym, czy granica istnieje, o ile tylko mogła być ona obliczona. Pod koniec XVIII wieku Joseph Louis Lagrange w swojej pracy Théorie des fonctions analytiques (1797) stwierdził, że brak rygoru przeszkadza w rozwoju analizy. Carl Friedrich Gauss w dziele o szeregach hipergeometrycznych (1813) po raz pierwszy zbadał w sposób rygorystyczny pod jakimi warunkami szereg zbiega do granicy.

Współczesną definicję granicy (dla każdego ε {\displaystyle \varepsilon } istnieje taki wskaźnik N , {\displaystyle N,} że…) została podana niezależnie przez Bernarda Bolzana (Der binomische Lehrsatz, Praga 1816, wówczas niezauważona) i Augustina Louis Cauchy’ego w jego Cours d’analyse (1821).

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Można tu skorzystać z aksjomatu Archimedesa.
  2. Dowód: niech dany będzie ciąg { a n } , {\displaystyle \{a_{n}\},} zbieżny do g R . {\displaystyle g\in \mathbb {R} .} Niech ε = 1. {\displaystyle \varepsilon =1.} Wtedy z definicji zbieżności istnieje takie N , {\displaystyle N,} że dla każdego n > N {\displaystyle n>N} zachodzi | a n g | < 1. {\displaystyle |a_{n}-g|<1.} Z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy: 1 | g | 1 + g < a n < 1 + g 1 + | g | , {\displaystyle -1-|g|\leqslant -1+g<a_{n}<1+g\leqslant 1+|g|,} co oznacza, że | a n | < 1 + | g | . {\displaystyle |a_{n}|<1+|g|.} Połóżmy teraz M = max { | a 1 | , | a 2 | , | a N | , 1 + | g | } . {\displaystyle M=\max\{|a_{1}|,|a_{2}|,\dots |a_{N}|,1+|g|\}.} Zbiór ten jest skończony, a zatem istnieje jedno wspólne ograniczenie wszystkich elementów { a n } , {\displaystyle \{a_{n}\},} co oznacza, że jest on ograniczony.
  3. Dowód: Niech ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} będzie ciągiem rosnącym (rozumowanie dla malejącego jest analogiczne). Z założenia zbiór { a n , n N } {\displaystyle \{a_{n},n\in \mathbb {N} \}} ma ograniczenie, a zatem posiada kres górny a . {\displaystyle a.} Wybierzmy ε > 0. {\displaystyle \varepsilon >0.} Z własności kresu górnego istnieje takie N , {\displaystyle N,} dla którego zachodzi a N > a ε . {\displaystyle a_{N}>a-\varepsilon .} Dla n > N , {\displaystyle n>N,} dzięki monotoniczności, mamy a n a N > a ε {\displaystyle a_{n}\geqslant a_{N}>a-\varepsilon } a jednocześnie a n a < a + ε , {\displaystyle a_{n}\leqslant a<a+\varepsilon ,} co oznacza, że | a n a | < ε , {\displaystyle |a_{n}-a|<\varepsilon ,} ale to dowodzi, że a {\displaystyle a} jest granicą ciągu ( a n ) . {\displaystyle (a_{n}).}
  4. Warunek ten jest w istocie jedną z wersji aksjomatu ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.
  5. Implikacja: jeśli ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, to jest zbieżny oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych i liczb zespolonych jest przestrzenią zupełną. Usunięcie z tych zbiorów jakiegokolwiek punktu powoduje utratę tej własności.
  6. W przestrzeniach, które nie są Hausdorffa, mogą istnieć ciągi zbieżne do większej liczby różnych punktów, wtedy granicą nazywa się zbiór takich punktów.

Przypisy | edytuj kod

  1. Tadeusz Krasiński: Analiza matematyczna. Funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003, s. 54–56. ISBN 83-7171-636-2.
Na podstawie artykułu: "Granica ciągu" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy