Granica funkcji


Granica funkcji w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy’ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

Dodatnia liczba całkowita n {\displaystyle n} staje się coraz większa, wartość n sin ( 1 n ) {\displaystyle n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)} staje się coraz bliższa 1. {\displaystyle 1.} Mówimy, że granica n sin ( 1 n ) {\displaystyle n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)} jest równa 1. {\displaystyle 1.}

Spis treści

Historia | edytuj kod

Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue’a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia.

Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass.

Granica w punkcie | edytuj kod

Funkcja f : A R {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} } określona na zbiorze A R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } ma w punkcie skupienia x 0 {\displaystyle x_{0}} tego zbioru granicę równą g , {\displaystyle g,} jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków

1. definicja Heinego:

dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} takiego, że dla dowolnego n N , x n A ,   x n x 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,x_{n}\in A,\ x_{n}\neq x_{0}} oraz lim n   x n = x 0 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }~x_{n}=x_{0},} ciąg wartości funkcji ( f ( x n ) ) {\displaystyle (f(x_{n}))} dąży do g {\displaystyle g} gdy n , {\displaystyle n\to \infty ,}

2. definicja Cauchy’ego:

ε > 0 δ > 0 x A ( 0 < | x x 0 | < δ | f ( x ) g | < ε ) , {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(0<|x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon ),} co czytamy następująco: dla każdej liczby ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} istnieje liczba δ > 0 {\displaystyle \delta >0} taka, że dla każdego x A {\displaystyle x\in A} z nierówności 0 < | x x 0 | < δ {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta } wynika nierówność | f ( x ) g | < ε . {\displaystyle |f(x)-g|<\varepsilon .}

3. definicja przez ciągłość[1]: g {\displaystyle g} jest taką wartością, którą należy nadać funkcji f {\displaystyle f} w punkcie x 0 {\displaystyle x_{0}} by była w tym punkcie ciągła:

h ( x ) = { f ( x )  dla  x x 0 g  dla  x = x 0 {\displaystyle h(x)=\left\{{f(x){\text{ dla }}x\neq x_{0} \atop g{\text{ dla }}x=x_{0}}\right.} jest ciągła w x 0 . {\displaystyle x_{0}.} (Ta definicja stosuje się do wszystkich funkcji, nie tylko liczbowo-liczbowych.)

Warunek 0 < | x x 0 | {\displaystyle 0<|x-x_{0}|} w definicji Cauchy’ego oznacza, że nie testujemy | f ( x 0 ) g | < ε . {\displaystyle |f(x_{0})-g|<\varepsilon .} W definicji przez ciągłość pojawia się w to miejsce warunek | g g | < ε , {\displaystyle |g-g|<\varepsilon ,} który jest oczywiście spełniony, bo ε > 0. {\displaystyle \varepsilon >0.}

Jeżeli istnieje granica funkcji f {\displaystyle f} w punkcie x 0 {\displaystyle x_{0}} i jest równa g , {\displaystyle g,} to piszemy

f ( x ) g {\displaystyle f(x)\to g} ( x x 0 ) {\displaystyle (x\to x_{0})}

i czytamy „ f ( x ) {\displaystyle f(x)} dąży do g , {\displaystyle g,} gdy x {\displaystyle x} dąży do x 0 {\displaystyle x_{0}} [1]

lub równoważnie

lim x x 0 f ( x ) = g , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=g,}

co czytamy: „limes f ( x ) {\displaystyle f(x)} przy x {\displaystyle x} dążącym do x 0 {\displaystyle x_{0}} równa się g {\displaystyle g} ”.

x x 0 + x x 0 . {\displaystyle x\to x_{0}^{+}\neq x\to x_{0}^{-}.} Dlatego granica jako x x 0 {\displaystyle x\to x_{0}} nie istnieje.

Granica jednostronna | edytuj kod

 Zobacz też: Granica jednostronna.

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami (w opozycji do ukazanej w tej sekcji) obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).

Liczba g {\displaystyle g} jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji f {\displaystyle f} w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia x 0 {\displaystyle x_{0}} dziedziny, co zapisuje się

f ( x ) g {\displaystyle f(x)\to g} przy x x 0 {\displaystyle x\to x_{0}^{-}} (odpowiednio: f ( x ) g {\displaystyle f(x)\to g} przy x x 0 + {\displaystyle x\to x_{0}^{+}} )

lub

lim x x 0   f ( x ) = g {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}~f(x)=g} (odpowiednio: lim x x 0 +   f ( x ) = g {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}~f(x)=g} ),

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego
dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} takiego, że dla dowolnego n N   x n A ,   x n < x 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} \ x_{n}\in A,\ x_{n}<x_{0}} (odpowiednio: x n > x 0 {\displaystyle x_{n}>x_{0}} )   oraz lim n   x n = x 0 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }~x_{n}=x_{0},}
ciąg wartości funkcji ( f ( x n ) ) {\displaystyle (f(x_{n}))} dąży do g {\displaystyle g} przy n ; {\displaystyle n\to \infty ;}
definicja Cauchy’ego
ε > 0 δ > 0 x A ( x 0 δ < x < x 0 | f ( x ) g | < ε ) {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}-\delta <x<x_{0}\implies |f(x)-g|<\varepsilon )} (odpowiednio: ε > 0 δ > 0 x A ( x 0 < x < x 0 + δ | f ( x ) g | < ε ) {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}<x<x_{0}+\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon )} ).

Granica niewłaściwa | edytuj kod

 Zobacz też: Granica niewłaściwa funkcji.

Funkcja f {\displaystyle f} ma w punkcie x 0 {\displaystyle x_{0}} granicę niewłaściwą + , {\displaystyle +\infty ,} co zapisuje się

f ( x ) + {\displaystyle f(x)\to +\infty } przy x x 0 {\displaystyle x\to x_{0}}

lub

lim x x 0   f ( x ) = + , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=+\infty ,}

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego
dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} takiego, że x n A , x n x 0 {\displaystyle x_{n}\in A,x_{n}\neq x_{0}} oraz lim n   x n = x 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }~x_{n}=x_{0}} ciąg wartości funkcji ( f ( x n ) ) {\displaystyle (f(x_{n}))} dąży do + {\displaystyle +\infty } przy n + ; {\displaystyle n\to +\infty ;}
definicja Cauchy’ego
M > 0 δ > 0 x A ( 0 < | x x 0 | < δ f ( x ) > M ) . {\displaystyle \forall _{M>0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(0<|x-x_{0}|<\delta \implies f(x)>M).}

Analogicznie definiuje się i oznacza się granicę niewłaściwą : {\displaystyle -\infty {:}} trzeba tylko wszędzie zamienić + {\displaystyle +\infty } na , {\displaystyle -\infty ,} a definicję Cauchy’ego zapisać tak:

M > 0 δ > 0 x A ( 0 < | x x 0 | < δ f ( x ) < M ) . {\displaystyle \forall _{M>0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(0<|x-x_{0}|<\delta \implies f(x)<-M).}

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.

Granica w nieskończoności | edytuj kod

Granica tej funkcji w nieskończoności istnieje

Funkcja f {\displaystyle f} określona dla wszystkich x > a {\displaystyle x>a} (odpowiednio: x < a {\displaystyle x<a} ) ma granicę g {\displaystyle g} w plus (odpowiednio: minus) nieskończoności, co zapisuje się

f ( x ) g {\displaystyle f(x)\to g} przy x + {\displaystyle x\to +\infty } (odpowiednio: x {\displaystyle x\to -\infty } )

lub

lim x +   f ( x ) = g {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }~f(x)=g} (odpowiednio: lim x   f ( x ) = g {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }~f(x)=g} ),

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego
dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} takiego, że dla każdego n N   x n > a {\displaystyle n\in \mathbb {N} \ x_{n}>a} oraz x n + {\displaystyle x_{n}\to +\infty } (odpowiednio: dla każdego n N   x n < a {\displaystyle n\in \mathbb {N} \ x_{n}<a} oraz x n {\displaystyle x_{n}\to -\infty } ),
ciąg wartości funkcji f ( x n ) {\displaystyle f(x_{n})} dąży do g {\displaystyle g} przy n ; {\displaystyle n\to \infty ;}
definicja Cauchy’ego
Asymptota pozioma y = 4 {\displaystyle y=4}

ε > 0 α R x > α | f ( x ) g | < ε {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\alpha \in \mathbb {R} }\;\forall _{x>\alpha }\;|f(x)-g|<\varepsilon } (odpowiednio ε > 0 α R x < α | f ( x ) g | < ε {\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\alpha \in \mathbb {R} }\;\forall _{x<\alpha }\;|f(x)-g|<\varepsilon } ).

Granica niewłaściwa w nieskończoności | edytuj kod

Funkcja f {\displaystyle f} określona na przedziale ( a , + ) {\displaystyle (a,+\infty )} ma w nieskończoności granicę niewłaściwą + , {\displaystyle +\infty ,} co zapisuje się

f ( x ) + {\displaystyle f(x)\to +\infty } przy x + {\displaystyle x\to +\infty }

lub

lim x +   f ( x ) = + , {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }~f(x)=+\infty ,}

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego
dla każdego ciągu ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} takiego, że dla każdego n N   x n > a {\displaystyle n\in \mathbb {N} \ x_{n}>a} oraz x n + , {\displaystyle x_{n}\to +\infty ,} ciąg wartości funkcji f ( x n ) {\displaystyle f(x_{n})} dąży do + {\displaystyle +\infty } przy n ; {\displaystyle n\to \infty ;}
definicja Cauchy’ego
M > 0 α R x > α f ( x ) > M . {\displaystyle \forall _{M>0}\;\exists _{\alpha \in \mathbb {R} }\;\forall _{x>\alpha }\;f(x)>M.}

Analogicznie definiuje się:

  • granicę niewłaściwą {\displaystyle -\infty } funkcji w + , {\displaystyle +\infty ,}
  • granicę niewłaściwą + {\displaystyle +\infty } funkcji w , {\displaystyle -\infty ,}
  • granicę niewłaściwą {\displaystyle -\infty } funkcji w . {\displaystyle -\infty .}

Własności | edytuj kod

  • Jeśli funkcje f {\displaystyle f} i g , {\displaystyle g,} określone na zbiorze A R , {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,} mają granice właściwe lim x x 0   f ( x ) = a {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=a} i lim x x 0   g ( x ) = b , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~g(x)=b,} to:
    • lim x x 0   ( f ( x ) ± g ( x ) ) = a ± b , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~(f(x)\pm g(x))=a\pm b,}
    • lim x x 0   ( f ( x ) g ( x ) ) = a b , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~(f(x)\cdot g(x))=a\cdot b,}
    • lim x x 0   f ( x ) g ( x ) = a b , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~{\tfrac {f(x)}{g(x)}}={\tfrac {a}{b}},} gdy g ( x ) 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} oraz b 0. {\displaystyle b\neq 0.}

Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.

    • Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że lim x   sin x x = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }~{\tfrac {\sin x}{x}}=0,} nie oznacza, że istnieją granice lim x   sin x {\displaystyle \lim _{x\to \infty }~\sin x} czy lim x   1 x . {\displaystyle \lim _{x\to \infty }~{\tfrac {1}{x}}.} W podanym przykładzie granica lim x   sin x {\displaystyle \lim _{x\to \infty }~\sin x} nie istnieje, natomiast lim x   1 x = 0. {\displaystyle \lim _{x\to \infty }~{\tfrac {1}{x}}=0.}
  • Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.
Jeśli funkcja f : A R {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} } ma w punkcie x 0 {\displaystyle x_{0}} granicę lim x x 0   f ( x ) = y 0 , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=y_{0},} funkcja g : B R {\displaystyle g\colon B\to \mathbb {R} } ma w punkcie y 0 {\displaystyle y_{0}} granicę lim y y 0   g ( y ) = z 0 , {\displaystyle \lim _{y\to y_{0}}~g(y)=z_{0},} przy czym x 0 {\displaystyle x_{0}} i y 0 {\displaystyle y_{0}} są odpowiednio punktami skupienia zbiorów A f 1 ( B ) {\displaystyle A\cap f^{-1}(B)} oraz B , {\displaystyle B,} przy czym f ( x ) y 0 {\displaystyle f(x)\neq y_{0}} dla każdego x {\displaystyle x} z pewnego sąsiedztwa punktu x 0 , {\displaystyle x_{0},} to lim x x 0   ( g f ) ( x ) = lim y y 0   g ( y ) = z 0 . {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~(g\circ f)(x)=\lim _{y\to y_{0}}~g(y)=z_{0}.}

Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:

  • lim x x 0   f ( x ) = ± lim x x 0   1 f ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=\pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}~{\tfrac {1}{f(x)}}=0,}
  • lim x x 0   f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=0} oraz f ( x ) > 0 ( f ( x ) < 0 ) {\displaystyle f(x)>0\;{\big (}f(x)<0{\big )}} w pewnym sąsiedztwie x 0 lim x x 0   1 f ( x ) = ± , {\displaystyle x_{0}\implies \lim _{x\to x_{0}}~{\tfrac {1}{f(x)}}=\pm \infty ,}
  • lim x x 0   f ( x ) = ± {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=\pm \infty } oraz c > 0 lim x x 0   c f ( x ) = ± , {\displaystyle c>0\implies \lim _{x\to x_{0}}~cf(x)=\pm \infty ,}
  • lim x x 0   f ( x ) = ± {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}~f(x)=\pm \infty } oraz c < 0 lim x x 0 c f ( x ) = , {\displaystyle c<0\implies \lim _{x\to x_{0}}cf(x)=\mp \infty ,}
  • lim x x 0 f ( x ) = ± {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty } oraz 0 < a h ( x ) {\displaystyle 0<a\leqslant h(x)} w pewnym sąsiedztwie x 0 lim x x 0   f ( x ) h ( x ) = ± , {\displaystyle x_{0}\implies \lim _{x\to x_{0}}~f(x)\cdot h(x)=\pm \infty ,}
  • lim x x 0 f ( x ) = ± {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty } oraz h ( x ) a < 0 {\displaystyle h(x)\leqslant a<0} w pewnym sąsiedztwie x 0 lim x x 0   f ( x ) h ( x ) = . {\displaystyle x_{0}\implies \lim _{x\to x_{0}}~f(x)\cdot h(x)=\mp \infty .}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Witold Kleiner, Analiza matematyczna, t. 1, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986, ​ISBN 83-01-06460-7​, s. 103.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Granica funkcji" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy