Grupa Mathieu


Grupa Mathieu w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Grupa Mathieu – jedna z pięciu skończonych grup prostych odkrytych i opisanych przez francuskiego matematyka Émile’a Léonarda Mathieu w jego pracach z lat 1861[1] i 1873[2]; były to pierwsze odkryte sporadyczne grupy proste. Zwykle oznacza się je symbolami M 11 , M 12 , M 22 , M 23 , M 24 {\displaystyle M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24}} i można o nich myśleć jako o grupach permutacji zbiorów odpowiednio 11, 12, 22, 23, czy 24 elementów (punktów).

Czasami, do oznaczenia podobnych grup (działających odpowiednio na zbiorach 7-, 8-, 9-, 10-, 19-, 20- i 21-punktowych), mianowicie stabilizatorów punktów w większych grupach, stosuje się symbole M 7 , M 8 , M 9 , M 10 , M 19 , M 20 {\displaystyle M_{7},M_{8},M_{9},M_{10},M_{19},M_{20}} oraz M 21 . {\displaystyle M_{21}.} Choć nie są sporadycznymi grupami prostymi, podgrupy te są istotne ze względu na to, iż mogą służyć do konstruowania większych[a]. Z drugiej strony John Conway zasugerował, że można rozszerzyć ten ciąg poprzez uogólnienie piętnastki, gdzie uzyskuje się podzbiór podgrupy symetrycznej zbioru 13-punktowego oznaczany M 13 . {\displaystyle M_{13}.} [3][4]

Największa z grup, M 24 , {\displaystyle M_{24},} która zwiera wszystkie inne, zawiera się w grupie symetrii kodu binarnego Golaya, który ma zastosowania praktyczne. Co więcej, grupy Mathieu stanowią fascynację wielu badaczy teorii grup jako anomalie matematyczne.

Historia | edytuj kod

Grupy proste definiuje się jako grupy bez nietrywialnych podgrup normalnych właściwych. Intuicyjnie oznacza to, że nie można ich rozbić na iloczyny mniejszych grup. Przez wiele lat dążono do sklasyfikowania grup prostych, aż wreszcie udało się to zrobić około 1980 roku. Grupy proste należą do wielu nieskończonych rodzin z wyjątkiem 26 grup, wśród których są także grupy Mathieu, nazywanych sporadycznymi grupami prostymi. Po opisaniu grup Mathieu nie udało się znaleźć nowych sporadycznych grup prostych aż do roku 1965, kiedy to odkryto grupę J1.

Grupy wielokrotnie przechodnie | edytuj kod

Mathieu był zainteresowany opisaniem grup permutacji wielokrotnie przechodnich (wielokrotnie tranzytywnych), które zostaną teraz zdefiniowane. Dla liczby naturalnej k grupa permutacji G {\displaystyle G} działająca na zbiorze n-punktowym jest k-przechodnia (k-tranzytywna), jeżeli dla danych dwóch zbiorów punktów a 1 , , a k {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}} oraz b 1 , , b k {\displaystyle b_{1},\dots ,b_{k}} o takiej własności, że a i {\displaystyle a_{i}} są różne i b i {\displaystyle b_{i}} są różne, istnieje element g {\displaystyle g} grupy G , {\displaystyle G,} który odwzorowuje a i {\displaystyle a_{i}} na b i {\displaystyle b_{i}} dla każdego i = 1 , , k . {\displaystyle i=1,\dots ,k.} Taka grupa nazywana jest ściśle k-przechodnią (ściśle k-tranzytywną), jeżeli istnieje wyłącznie jeden element g {\displaystyle g} o tej własności (tzn. działanie na k-tkach jest regularne, a nie tylko przechodnie).

Grupa M 24 {\displaystyle M_{24}} jest 5-przechodnia, zaś M 12 {\displaystyle M_{12}} jest grupą ściśle 5-przechodnią, przy czym pozostałe grupy Mathieu (proste lub nie) są podgrupami odpowiadającym stabilizatorom zbiorów m {\displaystyle m} -punktowych o odpowiednio niższej przechodniości (M23 jest 4-przechodnia itd.).

Jedynymi grupami 4-przechodnimi są grupy symetryczne S k {\displaystyle S_{k}} dla k 4 , {\displaystyle k\geqslant 4,} grupy alternujące A k {\displaystyle A_{k}} dla k 6 {\displaystyle k\geqslant 6} i grupy Mathieu M 24 , M 23 , M 12 , M 11 . {\displaystyle M_{24},M_{23},M_{12},M_{11}.} Pełny dowód wymaga klasyfikacji skończonych grup prostych, ale niektóre przypadki szczególne były znane przed jej opracowaniem.

Klasycznym wynikiem Jordana jest fakt, że grupy symetryczne i alternujące (odpowiednio stopni k i k – 2) oraz grupy M 12 {\displaystyle M_{12}} i M 11 {\displaystyle M_{11}} są jedynymi ściśle k-przechodnimi grupami permutacji dla k równych co najmniej 4.

Ważnymi przykładami grup wielokrotnie przechodnich są grupy 2-przechodnie i grupy Zassenhausa. Grupy Zassenhausa zawierają rzutową ogólną grupę liniową (ang. projective general linear group) prostej rzutowej nad ciałem skończonym, PGL ( 2 , F q ) , {\displaystyle \operatorname {PGL} (2,F_{q}),} która jest ściśle 3-przechodnia (zob. dwustosunek) na zbiorze ( q + 1 ) {\displaystyle (q+1)} -elementowym.

Rząd i tabela przechodniości | edytuj kod

Konstrukcje grup Mathieu | edytuj kod

Grupy Mathieu mogą być skonstruowane na wiele sposobów.

Grupy permutacji | edytuj kod

Grupa M 12 {\displaystyle M_{12}} ma podgrupę prostą rzędu 660 {\displaystyle 660} będącą zarazem podgrupą maksymalną. Podgrupa ta może być reprezentowana jako liniowa grupa ułamków jedenastoelementowego ciała F 11 . {\displaystyle F_{11}.} Jeżeli a {\displaystyle a} oznacza 1 , {\displaystyle -1,} zaś b {\displaystyle b} – nieskończoność, to dwoma standardowymi generatorami są ( 0123456789 a ) {\displaystyle (0123456789a)} oraz ( 0 b ) ( 1 a ) ( 25 ) ( 37 ) ( 48 ) ( 69 ) . {\displaystyle (0b)(1a)(25)(37)(48)(69).} Trzeci generator, dający M 12 , {\displaystyle M_{12},} odwzorowuje element x {\displaystyle x} ciała F 11 {\displaystyle F_{11}} na 4 x 2 3 x 7 ; {\displaystyle 4x^{2}-3x^{7};} w zapisie permutacyjnym jest to ( 26 a 7 ) ( 3945 ) . {\displaystyle (26a7)(3945).} Stabilizatorem czterech punktów jest grupa kwaternionów.

Podobnie M 24 {\displaystyle M_{24}} jest maksymalna podgrupa prosta rzędu 6072 , {\displaystyle 6072,} która może być reprezentowana jako liniowa grupa ułamków ciała F 23 . {\displaystyle F_{23}.} Jeden generator dodaje jedynkę do każdego z elementów (nie poruszając punktu N w nieskończoności), tzn. jest to

( 0123456789 A B C D E F G H I J K L M ) ( N ) , {\displaystyle (0123456789ABCDEFGHIJKLM)(N),}

drugim jest permutacja odwracająca porządek,

( 0 N ) ( 1 M ) ( 2 B ) ( 3 F ) ( 4 H ) ( 59 ) ( 6 J ) ( 7 D ) ( 8 K ) ( A G ) ( C L ) ( E I ) . {\displaystyle (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI).}

Trzeci generator, dający M 24 {\displaystyle M_{24}} odwzorowuje element x {\displaystyle x} ciała F 23 {\displaystyle F_{23}} na 4 x 4 3 x 15 ; {\displaystyle 4x^{4}-3x^{15};} nieciekawe obliczenia pokazują, że jako permutacja jest to element

( 2 G 968 ) ( 3 C D I 4 ) ( 7 H A B M ) ( E J L K F ) . {\displaystyle (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).}

Konstrukcje te są cytowane za Carmichaelem[5]; Dixon i Mortimer przypisują permutacje Mathieu[6].

Grupy automorfizmów systemów Steinera | edytuj kod

Istnieje, co do równoważności, dokładnie jeden system Steinera W 24 {\displaystyle W_{24}} (geometria Witta) typu S ( 5 , 8 , 24 ) . {\displaystyle S(5,8,24).} Grupa M 24 {\displaystyle M_{24}} jest grupą automorfizmów tego systemu Steinera; tzn. zbiór permutacji, które przekształcają każdy blok na inny. Podgrupy M 23 {\displaystyle M_{23}} i M 22 {\displaystyle M_{22}} są zdefiniowane jako stabilizatory odpowiednio jednego oraz dwóch punktów.

Podobnie, istnieje, co do równoważności, dokładnie jeden system Steinera W 12 {\displaystyle W_{12}} typu S ( 5 , 6 , 12 ) , {\displaystyle S(5,6,12),} a grupa M 12 {\displaystyle M_{12}} jest jej grupą automorfizmów. Podgrupa M 11 {\displaystyle M_{11}} jest stabilizatorem punktu.

M24 z PSL(3,4) | edytuj kod

Grupę M 24 {\displaystyle M_{24}} można skonstruować wychodząc od PSL ( 3 , 4 ) ; {\displaystyle \operatorname {PSL} (3,4);} jest to jedno z niezwykłych zjawisk matematyki.

Dobrym zaczątkiem dla M 24 {\displaystyle M_{24}} jest PSL ( 3 , 4 ) , {\displaystyle \operatorname {PSL} (3,4),} rzutowa specjalna grupa liniowa (ang. projective special linear group) przestrzeni trójwymiarowej nad skończonym ciałem 4-elementowym[7], oznaczana również M 21 , {\displaystyle M_{21},} która działa na płaszczyźnie rzutowej nad ciałem F 4 , {\displaystyle F_{4},} systemem typu S ( 2 , 5 , 21 ) {\displaystyle S(2,5,21)} oznaczany W 21 . {\displaystyle W_{21}.} Jego 21 bloków nazywa się prostymi. Dowolne dwie proste przecinają się w jednym punkcie.

Grupa M 21 {\displaystyle M_{21}} ma 168 podgrup prostych rzędu 360 i 360 podgrup prostych rzędu 168. W większej rzutowej ogólnej grupie liniowej (ang. projective general linear group) PGL ( 3 , 4 ) {\displaystyle \operatorname {PGL} (3,4)} oba zbiory podgrup tworzą klasy sprzężoności, ale w M 21 {\displaystyle M_{21}} oba zbiory rozpadają się na trzy klasy sprzężoności. Podgrupy mają odpowiednio orbity długości 6, nazywane hiperowalami, i orbity długości 7, nazywane podpłaszczyznami Fana. Zbiory te umożliwiają tworzenie nowych bloków dla większych systemów Steinera. M 21 {\displaystyle M_{21}} jest normalna w PGL ( 3 , 4 ) , {\displaystyle \operatorname {PGL} (3,4),} indeksu 3. PGL ( 3 , 4 ) {\displaystyle \operatorname {PGL} (3,4)} ma automorfizm zewnętrzny indukowany przez transponowanie elementów sprzężonych w F 4 {\displaystyle F_{4}} (automorfizm ciała). Grupa PGL ( 3 , 4 ) {\displaystyle \operatorname {PGL} (3,4)} może być więc rozszerzona do grupy P Γ L ( 3 , 4 ) {\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (3,4)} rzutowych przekształceń półtoraliniowych, która jest rozszczepieniem M 21 {\displaystyle M_{21}} przez grupę symetryczną S 3 . {\displaystyle S_{3}.} Okazuje się, że P Γ L ( 3 , 4 ) {\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (3,4)} można włożyć jako podgrupę maksymalną w M 24 . {\displaystyle M_{24}.} [8]

Hiperowal nie ma takich trzech punktów, które byłyby współliniowe. Podpłaszczyzna Fana spełnia w podobny sposób odpowiednie warunki jednoznaczności.

Do W 21 {\displaystyle W_{21}} należy dodać trzy nowe punkty i pozwolić automorfizmom P Γ L ( 3 , 4 ) , {\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (3,4),} ale nie automorfizmom M 21 {\displaystyle M_{21}} na permutowanie nowych punktów. System W 22 {\displaystyle W_{22}} typu S ( 3 , 6 , 22 ) {\displaystyle S(3,6,22)} powstaje przez dodanie jeszcze tylko jednego punktu do każdej z 21 prostych, a nowe bloki są 56 hiperowalami sprzężonymi ze względu na M 21 . {\displaystyle M_{21}.}

System typu S ( 5 , 8 , 24 ) {\displaystyle S(5,8,24)} miałby 759 bloków lub oktad. Należy dołączyć do całości trzy nowe punkty do każdej prostej W 21 , {\displaystyle W_{21},} jeszcze jeden nowy punkt do podpłaszczyzn Fana w każdym ze 120 zbiorów i dołączyć odpowiednie pary nowych punktów do wszystkich hiperowali. Do pełnej liczby oktad brakuje 210. Brakujące oktady to podzbiory W 21 {\displaystyle W_{21}} będące różnicami symetrycznymi par prostych. Istnieje wiele sposobów rozszerzenia grupy P Γ L ( 3 , 4 ) {\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (3,4)} do M 24 . {\displaystyle M_{24}.}

W12 | edytuj kod

Grupę W12 można skonstruować opierając się na geometrii afinicznej na przestrzeni liniowej F 3 × F 3 , {\displaystyle F_{3}\times F_{3},} system typu S ( 2 , 3 , 9 ) . {\displaystyle S(2,3,9).}

Inną konstrukcją W 12 {\displaystyle W_{12}} jest Kitten (dosł. kociak) R.T. Curtisa[9].

Programy komputerowe | edytuj kod

Powstawały też warte uwagi programy komputerowe generujące systemy Steinera. Wprowadzenie do konstrukcji W 24 {\displaystyle W_{24}} poprzez Miracle Octad Generator R.T. Curtisa i analog Conwaya dla W 12 , {\displaystyle W_{12},} miniMOG, można znaleźć w książce Conwaya i Sloane’a[10].

Grupa automorfizmów kodu Golaya | edytuj kod

Grupa M 24 {\displaystyle M_{24}} jest zarazem grupą permutacji automorfizmów kodu binarnego Golaya W , {\displaystyle W,} tzn. grupą permutacji współrzędnych odwzorowujących W {\displaystyle W} na siebie. Słowa kodowe odpowiadają w naturalny sposób podzbiorom zbioru 24-elementowego. Wspomniane podzbiory odpowiadające słowom kodowym o 8 lub 12 współrzędnych równych 1 nazywane są odpowiednio oktadami i dodekadami. Oktady są blokami systemu Steinera S ( 5 , 8 , 24 ) , {\displaystyle S(5,8,24),} a kod binarny Holaya jest przestrzenią liniową nad ciałem dwuelementowym rozpinanym przez oktady systemu Steinera. Pełna grupa automorfizmów kodu binarnego ma rząd 2 12 | M 24 | , {\displaystyle 2^{12}|M_{24}|,} gdyż istnieje | M 24 | {\displaystyle |M_{24}|} permutacji i 2 12 {\displaystyle 2^{12}} zmian znaków. Można to przedstawić jako permutacja i odbijanie współrzędnych wierzchołków 24-wymiarowej kostki.

Podgrupy proste M 23 , M 22 , M 12 {\displaystyle M_{23},M_{22},M_{12}} i M 11 {\displaystyle M_{11}} mogą być zdefiniowane jako podgrupy M 24 , {\displaystyle M_{24},} odpowiednio jako stabilizatory: jednej współrzędnej, uporządkowanej pary współrzędnych, dodekady i dodekady wraz z jedną współrzędną.

Grupa M 12 {\displaystyle M_{12}} jest indeksu 2 {\displaystyle 2} w swojej grupie automorizmów. Jako podgrupa M 24 {\displaystyle M_{24}} grupa M 12 {\displaystyle M_{12}} działa na drugiej dodekadzie jako obraz automorfizmów zewnętrznych swojego działania na pierwszej dodekadzie. M 11 {\displaystyle M_{11}} jest podgrupą M 23 , {\displaystyle M_{23},} lecz nie M 22 . {\displaystyle M_{22}.} Ta reprezentacja M 11 {\displaystyle M_{11}} ma orbity 11- i 12-elementowe. Grupa automorfizmów M 12 {\displaystyle M_{12}} jest podgrupą maksymalną M 24 {\displaystyle M_{24}} indeksu 1288.

Istnieje naturalny związek między grupami Mathieu i większymi grupami Conwaya, gdyż tak kod binarny Golaya, jak i krata Leecha leżą w przestrzeniach wymiaru 24. Grupy Conwaya można z kolei znaleźć w grupie Monster. Robert Griess nazywa 20 grup sporadycznych, które można znaleźć w grupie Monster szczęśliwą rodzinką (ang. Happy Family), a grupy Mathieu – pierwszym pokoleniem (ang. first generation)[11].

Dessins d’enfants | edytuj kod

Grupy Mathieu można skonstruować poprzez dessins d'enfants, z M 12 {\displaystyle M_{12}} w roli dessin o sugestywnej nazwie „Monsieur Mathieu”[12].

Symetrie wielościanów | edytuj kod

Grupa M24 może być skonstruowana z symetrii kwadryki Kleina powiększonej o (niegeometryczną) symetrię jej zanurzenia jako szescioośmiościanu małego.

Grupę M 24 {\displaystyle M_{24}} można skonstruować wychodząc od symetrii kwadryki Kleina (symetrie tesselacji powierzchni o genusie 3), mianowicie grupy PSL ( 2 , 7 ) , {\displaystyle \operatorname {PSL} (2,7),} która może być powiększona o dodatkową permutację. Permutację tę można opisać wychodząc od parkietażu kwadryki Kleina 20 trójkątami (o 24 wierzchołkach – zbiorze 24-punktowym, na którym działa grupa), następnie tworząc kwadraty z pewnych dwóch trójkątów, sześciokąty z 6 trójkątów, z dołączoną permutacją będącą „zamianą dwóch końców dwusiecznych kwadratów i sześciokątów”. Można to przedstawić przez kolorowanie trójkątów – odpowiadający kafelkowanie jest topologicznie, ale nie geometrycznie kafelkowaniem t0,1{4, 3, 3} i może być (wielościennie) zanurzony w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej jako szescioośmiościan mały (który również ma 24 wierzchołki)[13].

Własności | edytuj kod

Grupy Mathieu mają fascynujące własności; grupy są wynikiem współwystępowania kilku anomalii w teorii grup.

Na przykład M 12 {\displaystyle M_{12}} zawiera egzemplarz wyjątkowego automorfizmu zewnętrznego grupy S 6 . {\displaystyle S_{6}.} Grupa M 12 {\displaystyle M_{12}} zawiera podgrupę izomorficzną z S 6 {\displaystyle S_{6}} działającą w różny sposób na dwóch zbiorach 6-elementowych. Z kolei M 12 {\displaystyle M_{12}} ma automorfizm zewnętrzny indeksu 2 i, jako podgrupa M 24 , {\displaystyle M_{24},} działa w różny sposób na dwóch zbiorach 12-elementowych.

Należy zauważyć M 10 {\displaystyle M_{10}} jest rozszerzeniem nierozszczepiającym postaci A 6 .2 {\displaystyle A_{6}.2} (rozszerzenie grupy rzędu 2 przez A6), i odpowiednio A 6 {\displaystyle A_{6}} może być oznaczana symbolem M 10 , {\displaystyle M_{10}',} gdyż jest to podgrupa indeksu 2 grupy M 10 . {\displaystyle M_{10}.}

Grupa liniowa G L ( 4 , 2 ) {\displaystyle GL(4,2)} ma izomorfizm wyjątkowy (ang. exceptional isomorphism) w grupę alternującą A 8 ; {\displaystyle A_{8};} izomorfizm ten jest istotny ze względu na strukturę M 24 . {\displaystyle M_{24}.} Stabilizator punktowy O {\displaystyle O} oktady jest grupą abelową rzędu 16 o wykładniku 2, a każda z jego inwolucji porusza wszystkie 16 punktów poza oktadę. Stabilizator oktady jest rozszczepieniem O {\displaystyle O} przez A 8 . {\displaystyle A_{8}.} [14] Istnieje 759 (= 3 · 11 · 23) oktad. Stąd rząd M 24 {\displaystyle M_{24}} wynosi 759 · 16 · 20160.

Reprezentacja macierzowa w GL(11, 2) | edytuj kod

Kod binarny Golaya jest przestrzenią liniową wymiaru 12 nad F 2 . {\displaystyle F_{2}.} Punkty stałe ze względu na M24 tworzą podprzestrzeń złożoną z dwóch wektorów, których współrzędne złożone są z samych 0 bądź 1. Przestrzeń ilorazowa, wymiaru 11, rzędu 211, może być skonstruowana jako zbiór podziałów 24 bitów na pary słów kodowych Golaya. Intrygującą rzeczą jest to, że liczba niezerowych wektorów, 211−1 = 2047, jest najmniejszą liczbą Mersenne’a o wykładniku pierwszym, która nie jest liczbą pierwszą i ma rozkład 23 · 89. Następnie | M 24 | {\displaystyle |M_{24}|} dzieli | GL ( 11 , 2 ) | = 2 55 3 6 5 2 7 3 11 17 23 73 89. {\displaystyle |\operatorname {GL} (11,2)|=2^{55}\cdot 3^{6}\cdot 5^{2}\cdot 7^{3}\cdot 11\cdot 17\cdot 23\cdot 73\cdot 89.}

Grupa M23 również wymaga wymiaru 11.

Grupy M22, M12 oraz M11 mają reprezentację w GL(10, 2).

Podgrupa sekstetów grupy M24 | edytuj kod

Tetradą nazywa się dowolny zbiór 4 punktów systemu Steinera W 24 . {\displaystyle W_{24}.} Oktada wyznaczona jest przez wybranie pięciu z pozostałych 20 punktów. Istnieje 5 możliwych oktad. Stąd dowolna tetrada wyznacza podział na 6 tetrad, nazywanych sekstetami, których stabilizator w M 24 {\displaystyle M_{24}} nazywany jest grupą sekstetów.

Całkowita liczba tetrad to 24 · 23 · 22 · 21/4! = 23 · 22 · 21. Podzielenie tej liczby przez 6 daje liczbę sekstetów, 23 · 11 · 7 = 1771. Więcej, grupa sekstetów to podgrupa splotu rzędu 6! · (4!)6, którego jedynymi dzielnikami pierwszymi są 2, 3 oraz 5. Są to dzielniki pierwsze | M 24 | . {\displaystyle |M_{24}|.} Dalsza analiza dałaby rząd grupy sekstetów, a stąd | M 24 | . {\displaystyle |M_{24}|.}

Dogodnie jest umieścić 24 punkty w tablicy 6 × 4:

A E I M Q U B F J N R V C G K O S W D H L P T X {\displaystyle {\begin{matrix}A&E&I&M&Q&U\\B&F&J&N&R&V\\C&G&K&O&S&W\\D&H&L&P&T&X\end{matrix}}}

Wygodnie jest także użyć elementów ciała F 4 {\displaystyle F_{4}} do numerowania wierszy: 0, 1, u, u2.

Grupa sekstetów ma abelową podgrupę normalną H {\displaystyle H} rzędu 64, izomorficzną z heksakodem, przestrzenią liniową długości 6 i wymiaru 3 nad F 4 . {\displaystyle F_{4}.} Niezerowy element H wykonuje podwójną transpozycję w 4 lub 6 kolumnach. Jego działanie może być postrzegane jako dodawanie współrzędnych wektora do liczb w wierszach.

Grupa sekstetów jest rozszczepieniem H przez grupę 3. S 6 {\displaystyle 3.S_{6}} (rozszerzenie stem, ang. stem extension). Poniżej znajduje się przypadek w grupach Mathieu, gdzie grupa prosta (A6) jest podilorazem, ale nie podgrupą. 3. S 6 {\displaystyle 3.S_{6}} jest normalizatorem w M 24 {\displaystyle M_{24}} podgrupy generowanej przez

r = ( B C D ) ( F G H ) ( J K L ) ( N O P ) ( R S T ) ( V W X ) , {\displaystyle r=(BCD)(FGH)(JKL)(NOP)(RST)(VWX),}

który może być interpretowany jako mnożenie liczb w rzędach przez u2. Podgrupa 3. A 6 {\displaystyle 3.A_{6}} jest centralizatorem r . {\displaystyle \langle r\rangle .} Generatorami 3. A 6 {\displaystyle 3.A_{6}} są:

( A E I ) ( B F J ) ( C G K ) ( D H L ) ( R T S ) ( V W X ) {\displaystyle (AEI)(BFJ)(CGK)(DHL)(RTS)(VWX)} (obrót trzech pierwszych kolumn), ( A Q ) ( B S ) ( C T ) ( D R ) ( E U ) ( F X ) ( G V ) ( H W ) , {\displaystyle (AQ)(BS)(CT)(DR)(EU)(FX)(GV)(HW),} ( A U E I Q ) ( B X G K T ) ( C V H L R ) ( D W F J S ) {\displaystyle (AUEIQ)(BXGKT)(CVHLR)(DWFJS)} (iloczyn dwóch powyższych), ( F G H ) ( J L K ) ( M Q U ) ( N R V ) ( O S W ) ( P T X ) {\displaystyle (FGH)(JLK)(MQU)(NRV)(OSW)(PTX)} (obrót trzech ostatnich kolumn).

Parzysta permutacja kolumn, np. ( C D ) ( G H ) ( K L ) ( O P ) ( Q U ) ( R V ) ( S X ) ( T W ) , {\displaystyle (CD)(GH)(KL)(OP)(QU)(RV)(SX)(TW),} generuje 3. S 6 . {\displaystyle 3.S_{6}.}

Grupa 3. A 6 {\displaystyle 3.A_{6}} jest izomorficzna z podgrupą SL ( 3 , 4 ) , {\displaystyle \operatorname {SL} (3,4),} której obraz w PSL ( 3 , 4 ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (3,4)} został opisany wyżej jako grupa hiperowali.

Aplet Moggie ma funkcję wyświetlania sekstetów w kolorze.

Struktura podgrup | edytuj kod

Grupa M24 zawiera nieabelowa podgrupy proste 13 typów izomorfizmów: pięć klas A5, cztery klasy PSL(3,2), dwie klasy A6, dwie klasy PSL(2,11), po jednej klasie A7, PSL(2,23), M11, PSL(3,4), A8, M12, M22, M23 oraz M24.

Podgrupy maksymalne M24 | edytuj kod

Robert T. Curtis przedstawił pełny opis maksymalnych podgrup grupy M24 w 1977[15], co błędnie zaanonsowano wcześniej w 1972 roku[16][17].

Lista przedstawia się następująco[8]:

  • M23, rząd 10 200 960,
  • M22:2, rząd 887 040, orbity 2- i 22-elementowe,
  • 24:A8, rząd 322 560, orbity 8- i 16-elementowe: grupa oktad
  • M12:2, rząd 190 080, przechodnia i imprymitywna: grupa dodekad
Egzemplarz M12 działający w inny sposób na dwóch zbiorach 12-elementowych, odzwierciedlający automorfizm zewnętrzny M12
  • 26:(3.S6), rząd 138 240: grupa sekstetów (zob. wyżej)
  • PSL(3,4):S3, rząd 120 960, orbity 3- i 21-elementowe
  • 26:(PSL(3,2) × S3), rząd 64 512, przechodnia i imprymitywna: grupa trójek (ang. trio group)
Stabilizator rozbicia na 3 oktady
  • PSL(2,23), rząd 6 072: podwójnie przechodnie
  • Grupa ósemkowa, rząd 168, prosta, przechodnia i imprymitywna, 8 bloków trójelementowych
Ostatnia znaleziona podgrupa maksymalna M24. 7-elementowe podzbiory tej grupy dzielą się na 2 klasy sprzężoności zbiorów 24-elementowych.

Podgrupy maksymalne M23 | edytuj kod

  • M22, rząd 443 520
  • PSL(3,4):2, rząd 40 320, orbity 21- i 2- elementowe
  • 24:A7, rząd 40 320, orbity 7- i 16-elementowe
Stabilizator bloku W23
  • A8, rząd 20 160, orbity 8- i 15-elementowe
  • M11, rząd 7 920, orbity 11- i 12-elementowe
  • (24:A5):S3 lub M20:S3, rząd 5 760, orbity 3- i 20-elementowe (5 bloków 4-elementowych)
Jednopunktowy stablizator grupy sekstetów
  • 23:11, rząd 253, regularna

Podgrupy maksymalne M22 | edytuj kod

Nie istnieją podgrupy właściwe przechodnie na całym 22-elementowym zbiorze.

  • PSL(3,4) lub M21, rząd 20160: jednopunktowy stabilizator
  • 24:A6, rząd 5760, orbity 6- i 16-elementowe
Stabilizator bloku W22
  • A7, rząd 2520, orbity 7- i 15-elementowe
  • A7, orbity 7- i 15-elementowe
  • 24:S5, rząd 1920, orbity 2- i 20-elementowe (5 bloków 4-elementowych)
2-punktowy stabilizator w grupie sekstetów
  • 23:PSL(3,2), rząd 1344, orbity 8- i 14-elementowe
  • M10, rząd 720, orbity 10- i 12-elementowe (2 bloki 6-elementowe)
Jednopunktowy stabilizator M11 (punkt w orbicie 11-elementowej) nierozszczepione rozszerzenie postaci A6.2
  • PSL(2,11), rząd 660, dwie orbity 11-elementowe
Kolejny jednopunktowy stabilizator M11 (punkt w orbicie 12-elementowej)

Podgrupy maksymalne M21 | edytuj kod

Nie istnieją podgrupy właściwe przechodnie na całym 21-elementowym zbiorze.

  • 24:A5 lub M20, rząd 960: stabilizator jednopunktowy
Imprymitywna na 5 blokach 4-elementowych
  • 24:A5, transpozycja M20, orbity 5- i 16-elementowe
  • A6, rząd 360, orbity 6- i 15-elementowe: grupa hiperowali
  • A6, orbity 6- i 15-elementowe
  • A6, orbity 6- i 15-elementowe
  • PSL(3,2), rząd 168, orbity 7- i 14-elementowe: grupa podpłaszczyzny Fana
  • PSL(3,2), orbity 7- i 14-elementowe
  • PSL(3,2), orbity 7- i 14-elementowe
  • 32:Q lub M9, rząd 72, orbity 9- i 12-elementowe

Podgrupy maksymalne M12 | edytuj kod

Istnieje 11 klas sprzężoności podgrup maksymalnych, 6 występujących w automorficznych parach.

  • M11, rząd 7920, stopień 11
  • M11, stopień 12
Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu
  • S6:2, rząd 1440, imprymitywna i przechodnia, 2 bloki 6-elementowe
Przykład wyjątkowego automorfizmu zewnętrznego S6
  • M10.2, rząd 1440, orbity 2- i 10-elementowe
Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu
  • PSL(2,11), rząd 660, podwójnie przechodnia na zbiorze 12-punktowym
  • 32:(2.S4), rząd 432, orbity 3- i 9-elementowe
Izomorficzna z grupą afiniczną na przestrzeni C3 × C3.
  • 32:(2.S4), imprymitywna na 4 zbiorach 3-elementowych
Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu
  • S5 × 2, rząd 240, podwójnie imprymitywna, 6 na 2
Centralizator sześciokrotnej transpozycji
  • Q:S4, rząd 192, orbity 4- i 8-elementowe
Centralizator poczwórnej transpozycji
  • 42:(2 × S3), rząd 192, imprymitywna na 3 zbiorach 4-elementowych
  • A4 × S3, rząd 72, podwójnie imprymitywna, 4 na 3

Podgrupy maksymalne M11 | edytuj kod

Istnieje 5 klas sprzężoności podgrup maksymalnych

  • M10, rząd 720, jednopunktowy stabilizator w reprezentacji stopnia 11
  • PSL(2,11), rząd 660, jednopunktowy stabilizator w reprezentacji stopnia 12
  • M9:2, rząd 144, stabilizator rozbić 9- i 2-elementowego.
  • S5, rząd 120, orbity 5- i 6-elementowe
Stabilizator bloku w systemie Steinera S(4,5,11)
  • Q:S3, rząd 48, orbity 8- i 3-elementowe
Centralizator poczwórnej transpozycji Izomorficzna z GL(2,3).

Liczba elementów według rzędu | edytuj kod

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M11 wynosi 11. Rzędy i rozmiary klas sprzężoności można znaleźć w ATLASie[18].

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M12 wynosi 11. Rzędy i rozmiary klas sprzężoności można znaleźć w ATLASie[19].

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M22 wynosi 11.

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M23 wynosi 23.

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M24 wynosi 23. Jest 26 klas sprzężoności. Zachodzi intrygująca zbieżność z liczbą 26 sporadycznych grup prostych. Grupa M24 zdaje się być szczególna, nawet jak na grupę sporadyczną, być może istnieje ciekawe połączenie tych faktów.

Uwagi | edytuj kod

  1. M 8 {\displaystyle M_{8}} jest grupą trywialną, zaś M 19 {\displaystyle M_{19}} nie działa przechodnio na zbiorze 19-punktowym i 19 nie dzieli jej rzędu, przez co ciąg ten nie może być dalej rozszerzany w dół.
  2. M 19 {\displaystyle M_{19}} działa nietrywialnie, lecz nieprzechodnio na zbiorze 19-punktowym i ma rząd 3 16 ; {\displaystyle 3\cdot 16;} ponadto 3 + 16 = 19. {\displaystyle 3+16=19.} W istocie, ma 2 orbity: jedną rzędu 16, jedną rzędu 3 (2-podgrupa Sylowa działa regularnie na zbiorze 16-punktowym ustalając pozostałe 3, podczas gdy 3-podgrupa Sylowa permutuje 3 punkty ustalając orbitę rzędu 16). Szczegóły w C. Choi. On Subgroups of M24. I: Stabilizers of Subsets. „Transactions of the American Mathematical Society”. 167, s. 1–27, May 1972a. American Mathematical Society. DOI: 10.2307/1996123. JSTOR: 1996123. ; s. 4.

Przypisy | edytuj kod

  1. Émile Léonard Mathieu, Mémoire sur l’étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables J. Math. Pures Appl. (Liouville) (2) VI, 1861, s. 241–323.
  2. E. Mathieu, Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités, „Liouville Journ.”, (2) XVIII, 1873, s. 25–47.
  3. John H. Conway, „Graphs and Groups and M13”, uwagi z nowojorskiego 14. dnia teorii grafów (1987), s. 18–29.
  4. John Horton Conway, Noam D. Elkies, Jeremy L. Martin. The Mathieu group M12 and its pseudogroup extension M13. „Experimental Mathematics”. 15 (2), s. 223–236, 2006. ISSN 1058-6458. MR2253008
  5. Carmichael, Robert D. Groups of Finite Order, Dover (1937, reprint 1956), s. 151, 164, 263.
  6. John D. Dixon i Brian Mortimer Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), s. 209.
  7. John D. Dixon i Brian Mortimer Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), s. 192–205.
  8. a b R.L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998, s. 55.
  9. R.T. Curtis The Steiner System S(5,6,12), the Mathieu Group M12 and the ‘Kitten’, Computational Group Theory, Academic Press, Londyn, 1984.
  10. John Horton Conway; Sloane N.J.A. Sphere Packings, Lattices and Groups: v. 290 (Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften), Springer Verlag. ​ISBN 0-387-98585-9​.
  11. R.L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998.
  12. Lieven le Bruyn: Monsieur Mathieu. 1 marca 2007.
  13. David A. Richter: How to Make the Mathieu Group M24. [dostęp 2010-04-15].
  14. Thomas M. Thompson: From Error Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups, Carus Mathematical Monographs, Mathematical Association of America, 1983, s. 197–208.
  15. R.T. Curtis The maximal subgroups of M24. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 81 (1977) 185-192.
  16. C. Choi. On Subgroups of M24. II: the Maximal Subgroups of M24. „Transactions of the American Mathematical Society”. 167, s. 29–47, May 1972b. American Mathematical Society. DOI: 10.2307/1996124. JSTOR: 1996124
  17. R.L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998, s. 54.
  18. ATLAS: Grupa Mathieu M11.
  19. ATLAS: Grupa Mathieu M12.

Bibliografia | edytuj kod

  • R.T. Curtis A new combinatorial approach to M24. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 79 (1976) 25-42.
  • John Horton Conway; R.T. Curtis; Simon P. Norton; R.A. Parker; Robert Arnott Wilson (1985). Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J.G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press. ​ISBN 0-19-853199-0​.
  • Mark Ronan „Symmetry and the Monster”, Oxford University Press (2006) ​ISBN 0-19-280722-6​ (wprowadzenie dla laika opisującego grupy Mathieu w kontekście historycznym)

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Grupa Mathieu" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy