Grupa bijekcji


Grupa bijekcji w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Grupa bijekcjigrupa wszystkich bijekcji ustalonego zbioru z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako funkcja odwrotna).

Grupy te nazywa się również grupami symetrycznymi, choć często rozumie się przez to grupy permutacji (czyli bijekcji zbiorów skończonych). Grupy bijekcji zbioru X {\displaystyle X} oznaczane są często[1] S ( X ) , {\displaystyle \mathrm {S} (X),} choć stosuje się też inne oznaczenia, np. B i j ( X ) {\displaystyle \mathrm {Bij} (X)} [2], S y m ( X ) , {\displaystyle \mathrm {Sym} (X),} czy Σ X . {\displaystyle \Sigma _{X}.}

Liczba elementów (tj. rząd) grupy bijekcji zbioru X {\displaystyle X} wynosi | X | ! ; {\displaystyle |X|!;} w przypadku skończonym zapis ten należy rozumieć jako silnię, w nieskończonym jako | X | ! = 2 | X | {\displaystyle |X|!=2^{|X|}} (na podstawie twierdzenia Cantora–Bernsteina–Schrödera).

Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę bijekcji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup bijekcji dotyczą również dowolnych grup abstrakcyjnych.

Przykłady | edytuj kod

Jeśli X = {\displaystyle X=\varnothing } jest zbiorem pustym, to grupa bijekcji składa się z jednego elementu, {\displaystyle \varnothing \to \varnothing } (bijekcji pustej). Gdy X = N {\displaystyle X=\mathbb {N} } jest zbiorem liczb naturalnych, to grupa bijekcji jest mocy continuum, gdyż 2 N = c . {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }={\mathfrak {c}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 35-37. ​ISBN 83-01-03903-5​.
  2. Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strony 2-3.
Na podstawie artykułu: "Grupa bijekcji" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy