Hiperbola (matematyka)


Hiperbola (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Hiperbole sprzężone

Hiperbola (stgr. ὑπερβολή hyperbolḗ „przerzucenie; przesada”[1][2]) – krzywa będąca zbiorem takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch ustalonych punktów nazywanych ogniskami hiperboli jest stała.

Hiperbola jest zarazem krzywą stożkową, dla której kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą.

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne ( c , 0 ) {\displaystyle (-c,0)} i ( c , 0 ) , {\displaystyle (c,0),} to można ją opisać równaniem:

x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}

gdzie a {\displaystyle a} jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast b {\displaystyle b} jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:

b 2 = c 2 a 2 . {\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}.}

Jeżeli a = b {\displaystyle a=b} to hiperbola nazywana jest równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywa się stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi:

e = 2 c 2 a = c a > 1. {\displaystyle e={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}}>1.}

Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Kierownicami hiperboli nazywa się proste wyrażone równaniami

x = ± a e = ± a 2 c . {\displaystyle x=\pm {\frac {a}{e}}=\pm {\frac {a^{2}}{c}}.}

Obierając na hiperboli dowolny punkt P = ( x , y ) , {\displaystyle P=(x,y),} przez r 1 {\displaystyle r_{1}} oznacza się odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez r 2 {\displaystyle r_{2}} odległość pomiędzy punktem P {\displaystyle P} a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

  • dla prawej gałęzi: r 1 = a + e x ,     r 2 = a + e x , {\displaystyle r_{1}=a+ex,\ \ r_{2}=-a+ex,}
  • dla lewej gałęzi: r 1 = a e x ,     r 2 = a e x . {\displaystyle r_{1}=-a-ex,\ \ r_{2}=a-ex.}

Niech d 1 {\displaystyle d_{1}} będzie odległością ustalonego punktu P {\displaystyle P} od lewej kierownicy, a d 2 , {\displaystyle d_{2},} odpowiednio – od prawej. Wówczas:

r 1 d 1 = r 2 d 2 = e . {\displaystyle {\frac {r_{1}}{d_{1}}}={\frac {r_{2}}{d_{2}}}=e.}

Hiperbolę o równianiu

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}

nazywa się hiperbolą sprzężoną (do wyjściowej hiperboli). Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach

y = ± b a x . {\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x.}

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywany jest średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie Q = ( p , q ) {\displaystyle Q=(p,q)} hiperboli spełnia równanie

p x a 2 q y b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {px}{a^{2}}}-{\frac {qy}{b^{2}}}=1.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Władysław Kopaliński: hiperbola. W: Słownik wyrazów obcych i zwrotów obcojęzycznych [on-line]. slownik-online.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-07-02)].
  2. Henry George Liddell, Robert Scott: ὑπερβολή (ang.). W: A Greek-English Lexicon [on-line]. [dostęp 2018-07-16].

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (non-degenerate conic section):
Na podstawie artykułu: "Hiperbola (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy