Hipoteza Pólyi


Hipoteza Pólyi w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Hipoteza Pólyimatematyczna hipoteza, mówiąca że dla dowolnej liczby naturalnej n > 1 , {\displaystyle n>1,} co najmniej 50% liczb naturalnych mniejszych od n {\displaystyle n} ma nieparzystą liczbę czynników pierwszych. Hipotezę tę postawił w 1919 roku węgierski matematyk George Pólya. W 1958 roku wykazano, że jest to nieprawdą.

Hipoteza | edytuj kod

Suma wartości funkcji Liouville’a do n = 10 4 {\displaystyle n=10^{4}} Suma wartości funkcji Liouville’a do n = 10 7 {\displaystyle n=10^{7}}

Hipoteza Pólyi mówi, że jeżeli dla dowolnego n > 1 {\displaystyle n>1} podzielimy liczby naturalne mniejsze od n {\displaystyle n} na dwie grupy, w zależności od tego, czy dana liczba ma parzystą, czy nieparzystą liczbę czynników pierwszych, to w pierwszej grupie nigdy nie będzie więcej liczb niż w drugiej. Powtórzone czynniki pierwsze liczymy odpowiednią liczbę razy, na przykład: 24 = 2³ · 31 ma 3+1 = 4 czynniki pierwsze.

Równoważnie, przy użyciu funkcji Liouville’a, hipotezę tę można zapisać jako

L ( n ) = k = 1 n λ ( k ) 0 {\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leqslant 0}

dla wszystkich n , {\displaystyle n,} gdzie λ ( k ) = ( 1 ) Ω ( k ) {\displaystyle \lambda (k)=(-1)^{\Omega (k)}} ma wartość +1 gdy liczba czynników pierwszych k {\displaystyle k} jest parzysta, a −1 gdy jest nieparzysta.

Obalenie | edytuj kod

Hipoteza Pólyi została obalona przez C.B. Haselgrove’a w 1958 roku. Pokazał on że istnieje kontrprzykład, rozmiaru oszacowanego przez niego na 1,845 · 10361. Wielkość tego kontrprzykładu pokazuje niebezpieczeństwo opierania się na nawet bardzo daleko sięgających sprawdzeniach komputerowych.

Dokładny kontrprzykład równy n = 906 180 359 {\displaystyle n=906\,180\,359} został podany przez R.S. Lehmana w 1960 roku. Najmniejszy istniejący kontrprzykład, wynoszący n = 906 150 257 , {\displaystyle n=906\,150\,257,} podał Minoru Tanaka w 1980 roku.

Bibliografia | edytuj kod

  • R.S. Lehman, On Liouville’s function. Math. Comp. 14 (1960), s. 311–320.
  • M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function, „Tokyo Journal of Mathematics” 3, (1980) s. 187–189.
Na podstawie artykułu: "Hipoteza Pólyi" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy