Hipoteza continuum


Hipoteza continuum w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Hipoteza continuum (CH, ang. continuum hypothesis) – postawiona w roku 1878 przez Georga Cantora hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych.

Posługując się rozumowaniem przekątniowym, Cantor wykazał, że moce powyższych zbiorów nie są równe. W jego dalszych rozważaniach pojawiło się następujące, naturalne pytanie: „czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, a zarazem mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych?”, jednakże odpowiedź na nie okazała się być daleko nieoczywista. Cantor wysunął hipotezę – zwaną właśnie hipotezą continuum – że takiego zbioru nie ma. Fakt, że nie potrafił on jej udowodnić, sprawił, że Cantor zwątpił w sensowność stworzonej przez siebie teorii mnogości.

W 1940 roku ukazała się praca Kurta Gödla, w której autor dowiódł, że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatami ogólnie przyjętej teorii mnogości Zermela-Fraenkla. W 1963 roku Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od wspomnianych aksjomatów, co oznacza, że nie popadając w sprzeczność, można do nich dołączyć zarówno zdanie stwierdzające prawdziwość hipotezy, jak i jego zaprzeczenie.

W nowoczesnym sformułowaniu (pod założeniem aksjomatu wyboru) hipotezą continuum nazywa się następujące zdanie:

1 = c , {\displaystyle \aleph _{1}={\mathfrak {c}},}

gdzie po lewej stronie równości znajduje się pierwsza nieprzeliczalna liczba kardynalna, a po prawej – liczba kardynalna continuum.

Uogólniona hipoteza continuum (GCH, ang. generalized continuum hypothesis) to zdanie mówiące, że dla żadnego zbioru nieskończonego A {\displaystyle A} nie istnieje zbiór B , {\displaystyle B,} którego moc byłaby większa od mocy zbioru A , {\displaystyle A,} ale mniejsza od mocy zbioru potęgowego A . {\displaystyle A.} Uogólniona hipoteza continuum pociąga aksjomat wyboru. Jednym z jej następstw jest następujące twierdzenie Jesienina-Wolpina:

Pod założeniem GCH dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej λ {\displaystyle \lambda } istnieje zwarta przestrzeń Hausdorffa K {\displaystyle K} ciężaru λ {\displaystyle \lambda } o tej własności, że każda przestrzeń Banacha ciężaru λ {\displaystyle \lambda } jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią liniową przestrzeni C ( K ) , {\displaystyle C(K),} tj. przestrzeni Banacha funkcji ciągłych na K {\displaystyle K} z normą supremum[1].

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. A.C. Yesenin-Volpin, On the existence of a universal bicompact of arbitrary weight, „Dokl. Akad. Nauk USSR” 68 (1949), s. 649–652.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Hipoteza continuum" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy