Homomorfizm


Homomorfizm w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Homomorfizm (gr. ὅμοιος (homoios) = podobny + gr. μορφή (morphē) = kształt, forma) – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (np. monoid, grupę, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie działania, jakie są zdefiniowane w obu algebrach.

Istnienie homomorfizmu pozwala traktować jedną z algebr jako podalgebrę drugiej.

Homomorfizm różnowartościowy nazywa się izomorfizmem algebr i z punktu widzenia algebry oznacza ich identyczność.

Spis treści

Ogólna definicja homomorfizmu | edytuj kod

Niech A = ( A ; g 1 , , g n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}=(A;g_{1},\dots ,g_{n})} i B = ( B ; h 1 , , h n ) {\displaystyle {\mathcal {B}}=(B;h_{1},\dots ,h_{n})} oznaczają algebry ogólne tego samego typu (monoidy, grupy, pierścienie itp.), gdzie:

  • A , B {\displaystyle A,B} są zbiorami,
  • g 1 , , g n {\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}} są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru A , {\displaystyle A,} (np. +, *, potęgowanie itp.),
  • h 1 , , h n {\displaystyle h_{1},\dots ,h_{n}} są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru B , {\displaystyle B,} odpowiadającymi działaniom w zbiorze A , {\displaystyle A,}
  • liczby argumentów a ( g i ) {\displaystyle a(g_{i})} działania g i {\displaystyle g_{i}} są równe liczbie argumentów a ( h i ) {\displaystyle a(h_{i})} działania h i , {\displaystyle h_{i},} i = 1 , , n . {\displaystyle i=1,\dots ,n.}

Funkcja f : A B {\displaystyle f\colon A\to B} przekształcającą zbiór A {\displaystyle A} w zbiór B {\displaystyle B} jest homomorfizmem algebry A {\displaystyle {\mathcal {A}}} w algebrę B , {\displaystyle {\mathcal {B}},} jeśli dla wszystkich odpowiadających sobie działań g i {\displaystyle g_{i}} oraz h i {\displaystyle h_{i}} i dla każdego ciągu ( x 1 , x 2 , , x a ( g i ) ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{a(g_{i})})} elementów zbioru A {\displaystyle A} zachodzi równość:

f g i ( x 1 , x 2 , , x a ( g i ) ) = h i ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , , f ( x a ( h i ) ) . {\displaystyle f[g_{i}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{a(g_{i})})]=h_{i}[(f(x_{1}),f(x_{2}),\dots ,f(x_{a(h_{i})})].}

O funkcji f {\displaystyle f} mówi się, że przeprowadza każde działanie g i {\displaystyle g_{i}} w odpowiadające mu działanie h i . {\displaystyle h_{i}.}

Rodzaje homomorfizmów | edytuj kod

Relacje zbiorów morfizmów Relacje zbiorów morfizmów.
f – zbiór funkcji; H – zbiór homomorfizmów; M – zbiór monomorfizmów; Ep – zbiór epimorfizmów; Iz – zbiór izomorfizmów; End – zbiór endomorfizmów; A – zbiór automorfizmów Zbiór monomorfizmów Zbiór epimorfizmów Zbiór izomorfizmów Zbiór endomorfizmów Zbiór automorfizmów Każdy monomorficzny lub epimorficzny endomorfizm jest izomorfizmem.

Homomorfizm, który jest:

Typy homomorfizmów | edytuj kod

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją:

Homomorfizm grup | edytuj kod

Niech G = ( G , + , 0 ) {\displaystyle \mathrm {G} =(G,+,0)} oraz H = ( H , , θ ) {\displaystyle \mathrm {H} =(H,\oplus ,\theta )} oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).

Odwzorowanie f {\displaystyle f} nazywamy homomorfizmem grupy G {\displaystyle \mathrm {G} } w grupę H {\displaystyle \mathrm {H} } jeżeli spełnione są warunki:

a) f : G H , {\displaystyle f\colon G\to H,}

tzn. f {\displaystyle f} jest funkcją ze zbioru G {\displaystyle G} w zbiór H , {\displaystyle H,}

b) a , b G f ( a + b ) = f ( a ) f ( b ) , {\displaystyle \forall _{a,\;b\in G}\;f(a+b)=f(a)\oplus f(b),}

tzn. wynik działania + {\displaystyle +} wykonanego na wszystkich parach elementów a , b {\displaystyle a,b} zbioru G {\displaystyle G} i następnie odwzorowany do zbioru H {\displaystyle H} za pomocą funkcji f {\displaystyle f} jest równy wynikowi działania {\displaystyle \oplus } wykonanego na obrazach f ( a ) , {\displaystyle f(a),} f ( b ) {\displaystyle f(b)} elementów a , b {\displaystyle a,b} (wynik ten jest na pewno elementem zbioru H , {\displaystyle H,} ponieważ operacja {\displaystyle \oplus } jest działaniem w H {\displaystyle H} ).

Mówimy, że homomorfizm przeprowadza działanie grupowe + {\displaystyle +} na działanie . {\displaystyle \oplus .}

Twierdzenie | edytuj kod

Tw. Jeżeli f {\displaystyle f} jest homomorfizmem f : G H , {\displaystyle f\colon G\to H,} to

a) f {\displaystyle f} przekształca element neutralny działania + {\displaystyle +} w G {\displaystyle \mathrm {G} } na element neutralny działania {\displaystyle \oplus } w H , {\displaystyle \mathrm {H} ,} tzn.

f ( 0 ) = θ , {\displaystyle f(0)=\theta ,}

b) f {\displaystyle f} przekształca element odwrotny działania + {\displaystyle +} w G {\displaystyle \mathrm {G} } na element odwrotny działania {\displaystyle \oplus } w H , {\displaystyle \mathrm {H} ,} tzn.

a G f ( a ) = f ( a ) , {\displaystyle \forall _{a\in G}\;f(-a)=\ominus f(a),}

gdzie a {\displaystyle -a} oznacza element przeciwny do elementu a {\displaystyle a} w G , {\displaystyle \mathrm {G} ,} zaś f ( a ) {\displaystyle \ominus f(a)} oznacza element przeciwny do f ( a ) {\displaystyle f(a)} w H . {\displaystyle \mathrm {H} .}

Przykłady | edytuj kod

Homomorfizm pierścieni | edytuj kod

(1) Rozważmy dwa pierścienie:

a) pierścień R {\displaystyle \mathbb {R} } liczb rzeczywistych z działaniami dodawania liczb i mnożenia liczb,

b) pierścień M 22 {\displaystyle \mathbb {M_{22}} } macierzy 2×2 (tj. zbiór macierzy 2×2) z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy.

(2) Definiujemy funkcję ze zbioru R {\displaystyle \mathbb {R} } na zbiór macierzy M 22 {\displaystyle \mathbb {M_{22}} }

f : R M 22 , {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22},} f ( r ) = ( r 0 0 r ) . {\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}.}

(3) Funkcja f {\displaystyle f} jest homomorfizmem powyższych pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiego

f ( r + s ) = ( r + s 0 0 r + s ) = ( r 0 0 r ) + ( s 0 0 s ) = f ( r ) + f ( s ) , {\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s),}

2) zachowuje mnożenie

f ( r s ) = ( r s 0 0 r s ) = ( r 0 0 r ) ( s 0 0 s ) = f ( r ) f ( s ) , {\displaystyle f(r\cdot s)={\begin{pmatrix}r\cdot s&0\\0&r\cdot s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\cdot f(s),}

3) element neutralny dodawania w R {\displaystyle \mathbb {R} } przechodzi w element neutralny dodawania macierzy

f ( 0 ) = ( 0 0 0 0 ) , {\displaystyle f(0)={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}

4) element neutralny mnożenia w R {\displaystyle \mathbb {R} } przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy

f ( 1 ) = ( 1 0 0 1 ) . {\displaystyle f(1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}

Z powyższych własności wynika, że funkcja f : R M 22 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22}} jest homomorfizmem ze zbioru R {\displaystyle \mathbb {R} } do zbioru M 22 . {\displaystyle \mathbb {M} _{22}.}

Ponadto:

5) funkcja f : R M 22 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22}} jest injekcją (funkcją różnowartościową), gdyż każdym dwóm elementom ze zbioru R {\displaystyle \mathbb {R} } odpowiadają dokładnie dwa różne elementy ze zbioru M 22 . {\displaystyle \mathbb {M} _{22}.} Z powyższych własności wynika, że funkcja f : R M 22 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22}} jest monomorfizmem zbiorów R {\displaystyle \mathbb {R} } oraz M 22 . {\displaystyle \mathbb {M} _{22}.}

Brak homomorfizmu pierścieni | edytuj kod

Zbiory C {\displaystyle \mathbb {C} } oraz R {\displaystyle \mathbb {R} } są pierścieniami z działaniami dodawania i mnożenia liczb. Rozważmy funkcję f : C R , {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ,} która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł, tj.

f ( z ) = | z | {\displaystyle f(z)=|z|}

Funkcja ta nie jest homomorfizmem, gdyż na ogół nie zachowuje dodawania, tj. na ogół

| z 1 + z 2 | | z 1 | + | z 2 | . {\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}

Np. niech z 1 = 3 , {\displaystyle z_{1}=3,} z 2 = 4 i . {\displaystyle z_{2}=4i.} Wtedy mamy:

| z 1 | = 3 , | z 2 | = 4 , {\displaystyle |z_{1}|=3,|z_{2}|=4,}

ale

| 3 + 4 i | = 5. {\displaystyle |3+4i|=5.}

Homomorfizm grup | edytuj kod

Jeżeli ograniczymy odpowiednio wyżej omawiane zbiory, to możemy zdefiniować homomorfizm grup.

(1) Rozważmy zbiory niezerowych liczb zespolonych C 0 = C { 0 } {\displaystyle \mathbb {C} _{\neq 0}=\mathbb {C} -\{0\}} oraz niezerowych liczb rzeczywistych R 0 = R { 0 } . {\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0}=\mathbb {R} -\{0\}.} Zbiory te tworzą grupy z działaniami mnożenia liczb.

(2) Definiujemy funkcje f : C 0 R 0 , {\displaystyle f\colon \mathbb {C} _{\neq 0}\to \mathbb {R} _{\neq 0},} która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł (który jest liczbą rzeczywistą)

f ( z ) = | z | . {\displaystyle f(z)=|z|.}

(3) Funkcja f {\displaystyle f} jest homomorfizmem z C 0 {\displaystyle \mathbb {C} _{\neq 0}} w R 0 , {\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0},} gdyż odtwarza działanie mnożenia w R 0 , {\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0},} tj.

f ( z 1 z 2 ) = | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | = f ( z 1 ) f ( z 2 ) . {\displaystyle f(z_{1}\cdot z_{2})=|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|=f(z_{1})\cdot f(z_{2}).}

Homomorfizm monoidów | edytuj kod

Homomorfizm f {\displaystyle f} z monoidu (N, +, 0) do monoidu (N, *, 1), taki że: 1 = f ( n ) = 2 n . {\displaystyle 1=f(n)=2^{n}.} Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny.

1) Niech f {\displaystyle f} będzie funkcją z monoidu liczb naturalnych z działaniem dodawania (N, +, 0) do monoidu liczb naturalnych z działaniem mnożenia (N, *, 1), taką że:

f ( n ) = 2 n . {\displaystyle f(n)=2^{n}.}

Funkcja ta jest homomorfizmem z (N, +, 0) do (N, *, 1), gdyż

f ( n + m ) = f ( n ) f ( m ) {\displaystyle f(n+m)=f(n)*f(m)} oraz f ( 0 ) = 1 , {\displaystyle f(0)=1,}

tzn.

2 n + m = 2 n 2 m {\displaystyle 2^{n+m}=2^{n}*2^{m}} oraz 2 0 = 1 , {\displaystyle 2^{0}=1,}

czyli działanie + w pierwszym monoidzie przechodzi na działanie * w drugim, a element neutralny działania + przechodzi na element neutralny działania *.

Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny (tzn. nie wszystkim elementom monoidu (N, *, 1) będzie przypisany element monoidu (N, +, 0) – zobacz rysunek obok).

2) Niech G {\displaystyle \mathrm {G} } oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania + , {\displaystyle +,} a H {\displaystyle \mathrm {H} } oznacza zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia *. Homomorfizmem jest np. funkcja wykładnicza f ( n ) = exp ( n ) . {\displaystyle f(n)=\exp(n).} Uzasadnienie jest identyczne jak w poprzednim przykładzie.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 1–27.
Na podstawie artykułu: "Homomorfizm" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy