Homomorfizm pierścieni


Homomorfizm pierścieni w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Homomorfizm pierścieni – przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Niech ( R , + , ) {\displaystyle (R,+,\cdot )} oraz ( S , , ) {\displaystyle (S,\oplus ,\odot )} będą dowolnymi pierścieniami.

Homomorfizmem pierścieni R {\displaystyle R} i S {\displaystyle S} nazywamy dowolne odwzorowanie h : R S {\displaystyle h\colon R\to S} takie, że

  • h ( a + b ) = h ( a ) h ( b ) {\displaystyle h(a+b)=h(a)\oplus h(b)} – zachowane jest dodawanie
  • h ( a b ) = h ( a ) h ( b ) {\displaystyle h(a\cdot b)=h(a)\odot h(b)} – zachowane jest mnożenie

Jeżeli R {\displaystyle R} i S {\displaystyle S} pierścieniami z jedynką, to dodatkowo przyjmuje się

  • h ( 1 R ) = 1 S {\displaystyle h(1_{R})=1_{S}} – element neutralny mnożenia w R {\displaystyle R} jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w S {\displaystyle S} [a]

Własności | edytuj kod

  • h ( 0 R ) = 0 S {\displaystyle h(0_{R})=0_{S}} tzn. element neutralny dodawania w R {\displaystyle R} jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w S {\displaystyle S}
  • element przeciwny przechodzi w element przeciwny h ( a ) = h ( a ) . {\displaystyle -h(a)=h(-a).} Wynika to z rozumowania: h ( a ) h ( a ) = h ( a + ( a ) ) = h ( 0 R ) = 0 S . {\displaystyle h(a)\oplus h(-a)=h(a+(-a))=h(0_{R})=0_{S}.}

Obraz | edytuj kod

Obrazem homomorfizmu h {\displaystyle h} nazywamy zbiór

Im ( h ) = { a S : b R a = h ( b ) } , {\displaystyle \operatorname {Im} (h)=\{a\in S:\exists _{b\in R}\;a=h(b)\},}

czyli zbiór takich elementów S , {\displaystyle S,} które są wartościami odwzorowania h {\displaystyle h} na co najmniej jednym elemencie zbioru R . {\displaystyle R.}

Obraz homomorfizmu h {\displaystyle h} jest podpierścieniem pierścienia S . {\displaystyle S.}

Jądro | edytuj kod

Jądrem homomorfizmu h {\displaystyle h} nazywamy zbiór

ker h = { a R : h ( a ) = 0 S } , {\displaystyle \ker h=\{a\in R:h(a)=0_{S}\},}

gdzie 0 S {\displaystyle 0_{S}} oznacza zero pierścienia S . {\displaystyle S.}

Jądro homomorfizmu h {\displaystyle h} jest ideałem pierścienia R . {\displaystyle R.}

Morfizmy pierścieni | edytuj kod

Monomorfizm | edytuj kod

 Osobny artykuł: monomorfizm.

Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.

Homomorfizm h : R S {\displaystyle h\colon R\to S} jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ker h = { 0 R } , {\displaystyle \ker h=\{0_{R}\},} gdzie 0 R {\displaystyle 0_{R}} oznacza zero pierścienia R . {\displaystyle R.}

Epimorfizm | edytuj kod

 Osobny artykuł: epimorfizm.

Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm h : R S , {\displaystyle h\colon R\to S,} który jest funkcją typu „na”, tzn. Im ( h ) = S . {\displaystyle \operatorname {Im} (h)=S.}

Izomorfizm | edytuj kod

 Osobny artykuł: izomorfizm.

Homomorfizm h : R S {\displaystyle h\colon R\to S} nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy h {\displaystyle h} jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie h 1 {\displaystyle h^{-1}} istnieje (ponieważ h {\displaystyle h} jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że pierścienie R {\displaystyle R} i S {\displaystyle S} izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm h : R S {\displaystyle h\colon R\to S} (równoważnie: izomorfizm g : S R {\displaystyle g\colon S\to R} ) i oznaczamy R S . {\displaystyle R\simeq S.} W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności {\displaystyle \simeq } jest relacją równoważności.

Homomorfizm kanoniczny | edytuj kod

Niech R {\displaystyle R} będzie dowolnym pierścieniem, zaś I R {\displaystyle I\subseteq R} dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie h : R R / I {\displaystyle h\colon R\to R/I} określone h ( a ) = a {\displaystyle h(a)=[a]} jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie h {\displaystyle h} nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia R {\displaystyle R} na pierścień ilorazowy R / I . {\displaystyle R/I.}

Twierdzenie o homomorfizmie | edytuj kod

Jeśli h : R S {\displaystyle h\colon R\to S} jest epimorfizmem pierścieni R , S , {\displaystyle R,S,} to S {\displaystyle S} jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym R / ker h {\displaystyle R/\ker h} (izomorfizmem jest odwzorowanie g : R / ker h S {\displaystyle g\colon R/\ker h\to S} określone g ( a ) = h ( a ) {\displaystyle g\left([a]\right)=h(a)} ) oraz h = g f , {\displaystyle h=g\circ f,} gdzie f : R R / ker h {\displaystyle f\colon R\to R/\ker h} jest homomorfizmem kanonicznym.

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. W ten sposób eliminuje się przypadek zdegenerowany, w którym wszystkie elementy pierścienia R przechodzą na zero pierścienia S.
Na podstawie artykułu: "Homomorfizm pierścieni" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy