Ideał maksymalny


Ideał maksymalny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ideał maksymalnyideał, który jest maksymalny (względem zawierania zbiorów) wśród wszystkich ideałów właściwych danego pierścienia; innymi słowy jest to taki ideał właściwy, który nie zawiera się w żadnym innym ideale danego pierścienia.

Istotność ideałów maksymalnych wynika zasadniczo z faktu, że pierścienie ilorazowe ideałów maksymalnych są pierścieniami prostymi, co w przypadku pierścieni przemiennych z jedynką oznacza, że są one także ciałami. Dla pierścieni nieprzemiennych definiuje się ideały maksymalne lewostronny i prawostronny jako maksymalne wśród częściowo uporządkowanego zbioru ideałów odpowiednio lewostronnych bądź prawostronnych. W tym przypadku iloraz jest tylko modułem prostym nad danym pierścieniem. Jeżeli pierścień ma dokładnie jeden prawostronny ideał maksymalny, to nazywa się go pierścieniem lokalnym; wówczas ideał ten jest równocześnie dokładnie jednym lewostronnym ideałem maksymalnym tego pierścienia, co oznacza, że jest on jego (obustronnym) ideałem maksymalnym – w istocie jest to radykał Jacobsona danego pierścienia.

Spis treści

Własności | edytuj kod

W pierścieniach przemiennych z jedynką R {\displaystyle R} zachodzą następujące twierdzenia:

Przykłady | edytuj kod

  • W pierścieniu Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ideałami maksymalnymi są zbiory wszystkich liczb podzielnych przez daną liczbę pierwszą p {\displaystyle p} (pierścienie ilorazowe są wówczas izomorficzne z ciałami Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} )[3].
  • W pierścieniu wielomianów Z X {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} ideałami maksymalnymi są na przykład: zbiór wielomianów, dla których suma współczynników jest parzysta, zbiór wielomianów, dla których różnica między sumą współczynników o indeksach parzystych i nieparzystych jest parzysta (w obu przypadkach pierścienie ilorazowe są izomorficzne z Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} )
  • W pierścieniu wielomianów R X {\displaystyle \mathbb {R} [X]} ideałem maksymalnym jest na przykład zbiór wielomianów podzielnych przez ( x 2 + 1 ) ; {\displaystyle (x^{2}+1);} pierścień ilorazowy jest izomorficzny z ciałem liczb zespolonych C . {\displaystyle \mathbb {C} .}
  • W pierścieniu funkcji ciągłych z przestrzeni metrycznej zbiór funkcji znikających w danym punkcie (mających miejsce zerowe w ustalonym punkcie) jest ideałem maksymalnym.

Przypisy | edytuj kod

  1. Lang 1984 ↓, s. 67, 68.
  2. Lang 1984 ↓, s. 67.
  3. Lang 1984 ↓, s. 68.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Ideał maksymalny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy