Iloczyn diadyczny


Iloczyn diadyczny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Iloczyn diadyczny – to iloczyn wektora (kolumnowego) u {\displaystyle \mathbf {u} } z wektorem (wierszowym) v T {\displaystyle \mathbf {v} ^{T}} tego samego wymiaru, dający tensor 2-go rzędu, np.

u v T = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = u 1 v 1 u 1 v 2 u 1 v 3 u 2 v 1 u 2 v 2 u 2 v 3 u 3 v 1 u 3 v 2 u 3 v 3 {\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}}}

Iloczyn diadyczny jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego wektorów (gdzie wymiary wektorów nie muszą być równe, a wektory mogą być dowolnego typu, np. 2 wektory kolumnowe lub 2 wierszowe) lub ogólniej – iloczynu tensorowego macierzy.

Spis treści

Definicja ogólna | edytuj kod

Jeżeli dane są:

(1) baza wektorów kolumnowych przestrzeni wektorowej { e i , i = 1 , , n } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i},i=1,\dots ,n\}}

(2) odpowiadająca jej baza { e i T , i = 1 , , n } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}^{T},i=1,\dots ,n\}} wektorów wierszowych

(3) wektory u , v {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} } zapisane w tych bazach

u = i n u i e i , {\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i}^{n}u_{i}\mathbf {e} _{i},\quad {}} v T = j n v j e i T , {\displaystyle \mathbf {v} ^{T}=\sum _{j}^{n}v_{j}\mathbf {e} _{i}^{T},}

to iloczyn diadyczny u v {\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} } ma postać

u v T = i , j = 1 n u i v j e i e j T , {\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}=\sum _{i,j=1}^{n}u_{i}v_{j}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}^{T},}

gdzie E i j = e i e j T {\displaystyle \mathbf {E_{ij}} =\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}^{T}} macierz wymiaru n × n , {\displaystyle n\times n,} której element E i j = 1 , {\displaystyle E_{ij}=1,} a pozostałe elementy są równe zeru. Macierze te stanowią bazę tensora, tzn. dowolny tensor rzędu 2-go można wyrazić jako kombinację liniową tych macierzy bazowych.

Np. dla przestrzeni wektorowej 3-wymiarowej mamy 9 macierzy E i j , i , j = 1 , 2 , 3 , {\displaystyle \mathbf {E_{ij}} ,i,j=1,2,3,} np.

E 12 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 {\displaystyle \mathbf {E_{12}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}

Twierdzenie o śladzie iloczynu diadycznego | edytuj kod

Dowodzi się, że w ogólności słuszne jest twierdzenie

Tw. Ślad iloczynu diadycznego wektorów jest równy ich iloczynowi skalarnemu

tr ( u v T ) = v T u . {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T})=\mathbf {v} ^{T}\cdot \mathbf {u} .}

Przykład: Niech będą dane wektory

u T = 1 , 2 , 3 , {\displaystyle \mathbf {u} ^{T}=[1,2,3],} v T = 0 , 3 , 1 . {\displaystyle \mathbf {v} ^{T}=[0,3,1].}

Ich iloczyn diadyczny wynosi

u v T = 1 2 3 0 3 1 = 0 3 1 0 6 2 0 9 3 {\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&3&1\\0&6&2\\0&9&3\end{bmatrix}}}

oraz ślad macierzy wynosi

tr ( u v T ) = 9 {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T})=9}

– i jest on równy iloczynowi skalarnemu wektorów u , v , {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,} gdyż

v T u = 0 3 1 1 2 3 = 9 {\displaystyle \mathbf {v} ^{T}\cdot \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}0&3&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}=9}

Nieprzemienność iloczynu diadycznego | edytuj kod

Przykład: Niech będą dane wektory

u T = 1 , 2 , 3 , {\displaystyle \mathbf {u} ^{T}=[1,2,3],} v T = 0 , 3 , 1 . {\displaystyle \mathbf {v} ^{T}=[0,3,1].}

Ich iloczyn diadyczny v u T {\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} ^{T}} wynosi

v u T = 0 3 1 1 2 3 = 0 0 0 3 6 9 1 2 3 {\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} ^{T}={\begin{bmatrix}0\\3\\1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\3&6&9\\1&2&3\end{bmatrix}}}

Porównując powyższy wynik z iloczynem diadycznym z wcześniejszego rozdziału, widać, że iloczyn diadyczny nie jest przemienny

v u T u v T . {\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} ^{T}\neq \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}.}

Tylko w szczególnych przypadkach może zachodzić przemienność iloczynu diadycznego.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
Na podstawie artykułu: "Iloczyn diadyczny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy