Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta


Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} i H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} przestrzeń Hilberta, utworzona z iloczynu tensorowego przestrzeni H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} i H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} traktowanych jako przestrzenie liniowe, z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym.

Spis treści

Definicja iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta | edytuj kod

Iloczynem tensorowym H 1 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}} przestrzeni Hilberta H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} i H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} nazywa się przestrzeń Hilberta, taką że:

(1) bazę przestrzeni stanowi zbiór wektorów

{ e 1 e 2 : e 1 E 1 , e 2 E 2 } , {\displaystyle \left\{e_{1}\otimes e_{2}\colon \,\,e_{1}\in {\mathcal {E}}_{1},e_{2}\in {\mathcal {E}}_{2}\right\},}

gdzie:

E 1 {\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}} i E 2 {\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}} bazy ortonormalne odpowiednio w przestrzeni H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} i H 2 , {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2},} e 1 e 2 {\displaystyle e_{1}\otimes e_{2}} Iloczyn Kroneckera wektorów baz e 1 {\displaystyle e_{1}} i e 2 . {\displaystyle e_{2}.}

(2) iloczyn skalarny w tej przestrzeni jest zdefiniowany następująco:

jeżeli H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} i H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} są przestrzeniami Hilberta z iloczynami skalarnymi, odpowiednio, | 1 {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle _{1}} i | 2 , {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle _{2},} to iloczyn skalarny w przestrzeni H 1 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}} definiuje wzór

ϕ 1 ϕ 2 | ψ 1 ψ 2 = ϕ 1 | ψ 1 1 ϕ 2 | ψ 2 2 , {\displaystyle \langle \phi _{1}\otimes \phi _{2}|\psi _{1}\otimes \psi _{2}\rangle =\langle \phi _{1}|\psi _{1}\rangle _{1}\,\langle \phi _{2}|\psi _{2}\rangle _{2},}

gdzie:

ϕ 1 , ψ 1 H 1 , ϕ 2 , ψ 2 H 2 . {\displaystyle \phi _{1},\psi _{1}\in {\mathcal {H}}_{1},\,\,\,\phi _{2},\psi _{2}\in {\mathcal {H}}_{2}.}

Ponieważ iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta oznacza się takim samym symbolem, jak iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych ( ) {\displaystyle (\otimes )} typ iloczynu wynika z kontekstu:

  • przestrzenie liniowe, do których należą również przestrzenie Hilberta, mogą nie mieć zadanego iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest po prostu przestrzenią liniową, o bazie zadanej jak wyżej;
  • iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ma dodatkową strukturę, zadaną przez definicję iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest przestrzenią unitarną.

Własności | edytuj kod

(1) Iloczyn tensorowy H 1 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}} jest przestrzenią Hilberta H {\displaystyle {\mathcal {H}}} o wymiarze równym iloczynowi wymiarów przestrzeni H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} i H 2 . {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}.}

(2) W iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta występują wektory, których nie da się przedstawić w postaci iloczynu tensorowego wektorów składowych φ 1 ( i ) ϕ 2 ( j ) , {\displaystyle \varphi _{1}(i)\otimes \phi _{2}(j),} takich że ϕ 1 ( i ) H 1 {\displaystyle \phi _{1}(i)\in {\mathcal {H}}_{1}} i ϕ 2 ( j ) H 2 , {\displaystyle \phi _{2}(j)\in {\mathcal {H}}_{2},} ale które są w ogólności dowolnymi kombinacjami liniowymi takich wektorów, tj. i , j a i j φ 1 ( i ) ψ 2 ( j ) . {\displaystyle \sum _{i,j}a_{ij}\,\varphi _{1}(i)\otimes \psi _{2}(j).} Przykłady takich wektorów podano w Przykładzie 2.

Przykład 1: Iloczyn tensorowy przestrzeni 2-wymiarowych | edytuj kod

Rozważmy dwie przestrzenie Hilberta (w przedstawionych przykładach do oznaczenia wektorów przestrzeni Hilberta użyto notacji Diraca):

H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} z bazą { | 0 1 , | 1 1 } , {\displaystyle \{|0\rangle _{1},|1\rangle _{1}\},} H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} z bazą { | 0 2 , | 1 2 } . {\displaystyle \{|0\rangle _{2},|1\rangle _{2}\}.}

Iloczyn tensorowy H 1 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}} tych przestrzeni jest przestrzenią Hilberta H {\displaystyle {\mathcal {H}}} o wymiarze równym 4 , {\displaystyle 4,} przy czym bazę tworzą iloczyny tensorowe wektorów bazowych przestrzeni H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} przez wektory bazowe przestrzeni H 2 : {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}{:}}

{ | 0 1 | 0 2 , | 0 1 | 1 2 , | 1 1 | 0 2 , | 1 1 | 1 2 } . {\displaystyle \{|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\}.}

Jeżeli wektory bazy przedstawimy w bazie standardowej, jako ortonormalne kety

| 0 1 = 1 0 1 , {\displaystyle |0\rangle _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1},} | 1 1 = 0 1 1 {\displaystyle |1\rangle _{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}}

oraz

| 0 2 = 1 0 2 , {\displaystyle |0\rangle _{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2},} | 1 2 = 0 1 2 {\displaystyle |1\rangle _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}}

wówczas ich iloczyny tensorowe (iloczyny Kroneckera) to:

| 0 1 | 0 2 = 1 0 1 1 0 2 = 1 1 0 2 0 1 0 2 = 1 0 0 0 , {\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}1\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}\\0\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},} | 0 1 | 1 2 = 1 0 1 0 1 2 = 1 0 1 2 0 0 1 2 = 0 1 0 0 , {\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}1\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}\\0\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}},} | 1 1 | 0 2 = 0 1 1 1 0 2 = 0 1 0 2 1 1 0 2 = 0 0 1 0 , {\displaystyle |1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}\\1\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}},} | 1 1 | 1 2 = 0 1 1 0 1 2 = 0 0 1 2 1 0 1 2 = 0 0 0 1 . {\displaystyle |1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}\\1\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}.}

Widać, że iloczyny tensorowe ketów | 0 {\displaystyle |0\rangle } i | 1 {\displaystyle |1\rangle } (tj. wektorów kolumnowych o 2 współrzędnych) tworzą kety o 4 współrzędnych. Powyższe wektory są unormowane do jedności i wzajemnie ortogonalne, dlatego tworzą bazę ortonormalną 4-wymiarowej przestrzeni Hilberta H 1 H 2 . {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}.} Iloczyny tensorowe wektorów bra bazy (reprezentowane przez wektory wierszowe) utworzyłyby oczywiście wektory bra o 4 współrzędnych. Gdyby natomiast wektory bazy przestrzeni H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} zapisać w postaci wektorów ket (kolumnowych), a wektory bazy przestrzeni H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} w postaci wektorów bra (wierszowych), to iloczyn tensorowy wektorów baz tworzących bazę przestrzeni H 1 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}} miałby postać macierzy 2 × 2. Jeżeli np. wektory bazy przedstawimy w bazie standardowej, jako kety:

| 0 1 = 1 0 1 , {\displaystyle |0\rangle _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1},} | 1 1 = 0 1 1 {\displaystyle |1\rangle _{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}}

oraz bra

0 | 2 = 1 , 0 2 , {\displaystyle \langle 0|_{2}={\begin{bmatrix}1,0\end{bmatrix}}_{2},} 1 | 2 = 0 , 1 2 , {\displaystyle \langle 1|_{2}={\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}}_{2},}

wtedy otrzymamy iloczyny diadyczne (zwane również iloczynami zewnętrznymi):

| 0 1 0 | 2 = 1 0 1 1 0 2 = 1 0 0 0 , {\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes \langle 0|_{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}},} | 0 1 1 | 2 = 1 0 1 0 1 2 = 0 1 0 0 , {\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes \langle 1|_{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},} | 1 1 0 | 2 = 0 1 1 1 0 2 = 0 0 1 0 , {\displaystyle |1\rangle _{1}\otimes \langle 0|_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},} | 1 1 1 | 2 = 0 1 1 0 1 2 = 0 0 0 1 . {\displaystyle |1\rangle _{1}\otimes \langle 1|_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}.}

Z powyższego widać, że możliwe są różne reprezentacje wektorów baz rozważanych przestrzeni.

Przykład 2: Stan splątany 2 cząstek | edytuj kod

Załóżmy, że mamy dwie cząstki opisane stanami:

| ψ 1 = a | 0 1 + b | 1 1 , {\displaystyle |\psi \rangle _{1}=a|0\rangle _{1}+b|1\rangle _{1},} | ϕ 2 = c | 0 2 + d | 1 2 . {\displaystyle |\phi \rangle _{2}=c|0\rangle _{2}+d|1\rangle _{2}.}

Stany te należą do różnych przestrzeni Hilberta H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} i H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} ponieważ dotyczą różnych cząstek. Iloczyn tensorowy powyższych stanów ma postać:

| ψ 1 | ϕ 2 = ( a | 0 1 + b | 1 1 ) ( c | 0 2 + d | 1 2 ) , {\displaystyle |\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}=(a|0\rangle _{1}+b|1\rangle _{1})\otimes (c|0\rangle _{2}+d|1\rangle _{2}),}

czyli (pomijając symbol iloczynu tensorowego po prawej stronie równania):

| ψ 1 | ϕ 2 = a c | 0 1 | 0 2 + a d | 0 1 | 1 2 + b c | 1 1 | 0 2 + b d | 1 1 | 1 2 . {\displaystyle |\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}=ac\,|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+ad\,|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+bc\,|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}+bd\,|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}.}

Jednak najbardziej ogólny stan powyższych cząstek zwany stanem splątanym, nie da się sprowadzić do powyższego iloczynu tensorowego. Ma postać dowolnej kombinacji liniowej wektorów bazowych, tj.

| ξ 12 = α | 0 1 | 0 2 + β | 0 1 | 1 2 + γ | 1 1 | 0 2 + δ | 1 1 | 1 2 , {\displaystyle |\xi \rangle _{12}=\alpha \,|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+\beta \,|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+\gamma \,|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}+\delta \,|1\rangle _{1}|1\rangle _{2},}

gdzie:

α a c {\displaystyle \alpha \neq ac} lub β a d {\displaystyle \beta \neq ad} lub γ b c {\displaystyle \gamma \neq bc} lub δ b d , {\displaystyle \delta \neq bd,} zachowując jednak warunek normalizacji tj. | α | 2 + | β | 2 + | γ | 2 + | δ | 2 = 1. {\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}+|\gamma |^{2}+|\delta |^{2}=1.}

Na przykład dla stanów stanowiących równomierną superpozycję standardowych wektorów bazowych (stany takie można otrzymać za pomocą unitarnej transformacji Hadamarda):

| + 1 = 1 2 ( | 0 1 + | 1 1 ) , {\displaystyle |+\rangle _{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}+|1\rangle _{1}),} | 2 = 1 2 ( | 0 2 | 1 2 ) {\displaystyle |-\rangle _{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{2}-|1\rangle _{2})}

iloczyn tensorowy ma postać:

| + 1 | 2 = 1 2 ( | 0 1 | 0 2 | 0 1 | 1 2 + | 1 1 | 0 2 | 1 1 | 1 2 ) , {\displaystyle |+\rangle _{1}\otimes |-\rangle _{2}={\frac {1}{2}}(|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}-|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}-|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}),}

natomiast stan splątany może mieć dowolne (znormalizowane) współczynniki, np.:

| ξ 12 = i 1 3 | 0 1 | 0 2 + 1 + i 12 | 0 1 | 1 2 + 6 12 | 1 1 | 1 2 , {\displaystyle |\xi \rangle _{12}=i{\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+{\frac {1+i}{\sqrt {12}}}|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+{\sqrt {\frac {6}{12}}}|1\rangle _{1}|1\rangle _{2},}

(gdzie γ = 0 {\displaystyle \gamma =0} ). W sensie matematycznym stany kwantowe stanowią surjektywną izometrię wektorów bazowych; stan kwantowy może nie zawierać wszystkich wektorów bazowych, jednak musi być znormalizowany. Cztery poniższe stany splątane zwane „stanami Bell’a” tworzą na przykład maksymalnie splątaną bazę czterowymiarowej przestrzeni Hilberta dwóch kubitów:

| ϕ + 12 = 1 2 ( | 0 1 | 0 2 + | 1 1 | 1 2 ) , {\displaystyle |\phi ^{+}\rangle _{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}),} | ϕ 12 = 1 2 ( | 0 1 | 0 2 | 1 1 | 1 2 ) , {\displaystyle |\phi ^{-}\rangle _{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}-|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}),} | ψ + 12 = 1 2 ( | 0 1 | 1 2 + | 1 1 | 0 2 ) , {\displaystyle |\psi ^{+}\rangle _{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}),} | ψ 12 = 1 2 ( | 0 1 | 1 2 | 1 1 | 0 2 ) . {\displaystyle |\psi ^{-}\rangle _{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}-|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}).}

Stany splątane należą do iloczynu tensorowego H 1 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}} przestrzeni Hilberta H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} i H 2 , {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2},} jednak nie da się ich otrzymać poprzez tensorowe mnożenie stanu należącego do przestrzeni H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} i stanu należącego do przestrzeni H 2 . {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}.} Stany splątane są więc stanami szczególnymi. Z racji swoich niezwykłych własności wykorzystuje się je m.in. w komputerach kwantowych, przewyższających szybkością obliczeń powszechne dotąd komputery klasyczne.

Przykład 3: Obliczanie iloczynu skalarnego | edytuj kod

Jeżeli dane są dwa stany | ψ 1 {\displaystyle |\psi \rangle _{1}} i | ϕ 2 {\displaystyle |\phi \rangle _{2}} należące odpowiednio do przestrzeni Hilberta H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} i H 2 , {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2},} takie że

| ψ 1 = a | 0 1 + b | 1 1 , {\displaystyle |\psi \rangle _{1}=a|0\rangle _{1}+b|1\rangle _{1},} | ϕ 2 = c | 0 2 + d | 1 2 , {\displaystyle |\phi \rangle _{2}=c|0\rangle _{2}+d|1\rangle _{2},}

to ich iloczyn tensorowy ma postać (por. Przykład 2):

| ψ 1 | ϕ 2 = a c | 0 1 | 0 2 + a d | 0 1 | 1 2 + b c | 1 1 | 0 2 + b d | 1 1 | 1 2 . {\displaystyle |\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}=ac\,|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+ad\,|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+bc\,|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}+bd\,|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}.}

Iloczyn skalarny powyższego wektora oblicza się licząc iloczyny skalarne wektorów należących do tej samych przestrzeni Hilberta H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} lub H 2 , {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2},} tj.:

ψ | 1 ϕ | 2 | ψ 1 | ϕ 2 = ψ | ψ 1 ϕ | ϕ 2 = = ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) . {\displaystyle \langle \psi |_{1}\otimes \langle \phi |_{2}|\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}=\langle \psi |\psi \rangle _{1}\otimes \langle \phi |\phi \rangle _{2}=\cdots =(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2}).}

Przykład 4: Iloczyn tensorowy przestrzeni L² | edytuj kod

Jeżeli μ {\displaystyle \mu } i ν {\displaystyle \nu } miarami σ-skończonymi, to istnieje dokładnie jeden taki izomorfizm iloczynu tensorowego

L 2 ( μ ) L 2 ( ν ) {\displaystyle L^{2}(\mu )\otimes L^{2}(\nu )}

na przestrzeń

L 2 ( μ ν ) , {\displaystyle L^{2}(\mu \otimes \nu ),}

że f g f g . {\displaystyle f\otimes g\mapsto fg.} Symbol μ ν {\displaystyle \mu \otimes \nu } oznacza miarę produktową miar μ {\displaystyle \mu } i ν . {\displaystyle \nu .}

W przypadku, gdy zbiór A {\displaystyle A} jest dowolnym zbiorem oraz μ {\displaystyle \mu } jest miarą liczącą na A , {\displaystyle A,} to

L 2 ( μ ) = 2 ( A ) {\displaystyle L^{2}(\mu )=\ell ^{2}(A)}

Jeżeli zbiór A {\displaystyle A} jest nieprzeliczalny, to miara μ {\displaystyle \mu } nie jest σ-skończona. Pomimo tego, nawet w przypadku, gdy któryś ze zbiorów A {\displaystyle A} lub B {\displaystyle B} jest nieprzeliczalny, iloczyn tensorowy

2 ( A ) 2 ( B ) {\displaystyle \ell ^{2}(A)\otimes \ell ^{2}(B)}

jest izometryczny z przestrzenią

2 ( A × B ) . {\displaystyle \ell ^{2}(A\times B).}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Joachim Weidmann: Linear operators in Hilbert spaces. Springer, 1980, s. 47–49, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-0387904276. (ang.)
  • Svante Janson: Gaussian Hilbert spaces. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, s. 318, seria: Cambridge Tracts in Mathematics. 129. ISBN 978-0-521-56128-0. (ang.)
  • Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 50. ISBN 978-0-12-585050-6. (ang.)
  • Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, ​ISBN 978-0471569527​.
Na podstawie artykułu: "Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy