Iloczyny grup


Iloczyny grup w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Iloczyny (produkty) grup – sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

Iloczyn kartezjański | edytuj kod

Niech { G i : i I } {\displaystyle \{G_{i}:i\in I\}} będzie rodziną grup, gdzie I {\displaystyle I} jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy iloczyn kartezjański

i I G i = G 1 × G 2 × × G n × = { ( g 1 , g 2 , , g n , ) : g i G i , i I } {\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}=G_{1}\times G_{2}\times \dots \times G_{n}\times \dots =\{(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots ):g_{i}\in G_{i},i\in I\}}

z działaniem

( g 1 , g 2 , , g n , ) ( h 1 , h 2 , , h n , ) =   d e f ( g 1 h 1 , g 2 h 2 , , g n h n , ) . {\displaystyle (g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots )(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n},\dots ){\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{=}}(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2},\dots ,g_{n}h_{n},\dots ).}

Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż

  • elementem neutralnym jest e = ( e 1 , e 2 , , e n , ) , {\displaystyle e=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},\dots ),} gdzie e i {\displaystyle e_{i}} jest elementem neutralnym grupy G i {\displaystyle G_{i}} dla każdego i I , {\displaystyle i\in I,}
  • elementem odwrotnym do elementu g = ( g 1 , g 2 , , g n , ) {\displaystyle g=(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots )} jest g 1 = ( g 1 1 , g 2 1 , , g n 1 , ) . {\displaystyle g^{-1}=(g_{1}^{-1},g_{2}^{-1},\dots ,g_{n}^{-1},\dots ).}

Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem i I G i . {\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}.}

W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny.

Iloczyn prosty | edytuj kod

Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup G i {\displaystyle G_{i}} określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup i I G i {\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}} określonego równością

i I G i =   d e f { ( g 1 , g 2 , , g n , ) : m i > m g i = e i } . {\displaystyle \coprod _{i\in I}G_{i}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{=}}\{(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},\dots ):\exists _{m}\;\forall _{i>m}\;g_{i}=e_{i}\}.}

Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako iloczyn prosty właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.

Własności | edytuj kod

Jeżeli I = { 1 , 2 , , n } {\displaystyle I=\{1,2,\dots ,n\}} jest zbiorem skończonym, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis G 1 × G 2 × × G n . {\displaystyle G_{1}\times G_{2}\times \dots \times G_{n}.}

Jeżeli jednak I = N {\displaystyle I=\mathbb {N} } jest zbiorem przeliczalnym, a G i {\displaystyle G_{i}} nietrywialne dla nieskończenie wielu i I , {\displaystyle i\in I,} to G i < G i . {\displaystyle \coprod G_{i}<\prod G_{i}.}

Suma prosta | edytuj kod

Jeżeli rozważamy grupy A i {\displaystyle A_{i}} z addytywnym sposobem zapisu, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze

i I A i . {\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}.}

W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych, modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.

Sam zapis jest przemienny, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych G = H K = K H . {\displaystyle G=H\oplus K=K\oplus H.} Jest również łączny w sensie, że jeżeli G = H K {\displaystyle G=H\oplus K} oraz K = L M , {\displaystyle K=L\oplus M,} to G = H ( L M ) = H L M . {\displaystyle G=H\oplus (L\oplus M)=H\oplus L\oplus M.}

Jeżeli G = H K , {\displaystyle G=H\oplus K,} to można udowodnić, że:

  • dla dowolnych h H , k K {\displaystyle h\in H,\;k\in K} zachodzi h + k = k + h , {\displaystyle h+k=k+h,}
  • dla dowolnych g G {\displaystyle g\in G} istnieją jednoznacznie wyznaczone h H , k K {\displaystyle h\in H,\;k\in K} takie, że g = h + k , {\displaystyle g=h+k,}
  • zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. ( H K ) / K {\displaystyle (H\oplus K)/K} jest izomorficzna z H . {\displaystyle H.}

Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.

Przykłady | edytuj kod

Iloczyn półprosty | edytuj kod

Iloczyn półprosty zewnętrzny | edytuj kod

Niech będą dane grupy N {\displaystyle N} i D {\displaystyle D} oraz homomorfizm φ : D Aut N {\displaystyle \varphi \colon D\to \operatorname {Aut} \;N} grupy D {\displaystyle D} w grupę automorfizmów grupy N . {\displaystyle N.}

Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup N {\displaystyle N} i D {\displaystyle D} za pośrednictwem φ , {\displaystyle \varphi ,} oznaczanym N φ D , {\displaystyle N\rtimes _{\varphi }D,} nazywa się grupę składająca się z elementów ( n , d ) , n N , d D {\displaystyle (n,d),\;n\in N,d\in D} wraz z działaniem określonym wzorem

( n 1 , d 1 ) ( n 2 , d 2 ) = ( n 1 φ d 1 ( n 2 ) , d 1 d 2 ) {\displaystyle (n_{1},d_{1})(n_{2},d_{2})=\left(n_{1}\varphi _{d_{1}}(n_{2}),d_{1}d_{2}\right)}

oraz odwrotnością daną przez

( n , d ) 1 = ( φ d 1 ( n 1 ) , d 1 ) , {\displaystyle (n,d)^{-1}=\left(\varphi _{d^{-1}}(n^{-1}),d^{-1}\right),}

i elementem neutralnym

( e , 1 ) {\displaystyle (e,1)}

gdzie e N {\displaystyle e\in N} oraz 1 D {\displaystyle 1\in D} są elementami neutralnymi.

Iloczyn półprosty wewnętrzny | edytuj kod

Niech N {\displaystyle N} będzie podgrupą normalną w G . {\displaystyle G.} Dopełnieniem normalnym D {\displaystyle D} podgrupy N {\displaystyle N} w G {\displaystyle G} nazywamy zbiór spełniający warunki N D = { e } {\displaystyle N\cap D=\{e\}} oraz N D = G {\displaystyle ND=G} (równoważnie D N = G {\displaystyle DN=G} ).

Grupę G {\displaystyle G} nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup N {\displaystyle N} i D , {\displaystyle D,} co oznacza N D {\displaystyle N\rtimes D} wtedy i tylko wtedy, gdy D {\displaystyle D} jest dopełnieniem normalnym N . {\displaystyle N.}

Jeżeli grupa G {\displaystyle G} jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup N {\displaystyle N} i D , {\displaystyle D,} to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym N φ D {\displaystyle N\rtimes _{\varphi }D} za pośrednictwem homomorfizmu φ : D Aut N {\displaystyle \varphi :D\to \operatorname {Aut} N} określonego jako φ d ( n ) = d n d 1 , {\displaystyle \varphi _{d}(n)=dnd^{-1},} czyli sprzężenie n {\displaystyle n} przez d . {\displaystyle d.} Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny N φ D {\displaystyle N\rtimes _{\varphi }D} jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup N × { 1 } {\displaystyle N\times \{1\}} oraz { e } × D , {\displaystyle \{e\}\times D,} przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.

Własności | edytuj kod

  • N φ D N × D {\displaystyle N\rtimes _{\varphi }D\equiv N\times D} wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm φ : D Aut N {\displaystyle \varphi \colon D\to \operatorname {Aut} \;N} jest trywialny.
  • N φ D {\displaystyle N\rtimes _{\varphi }D} jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy N , D {\displaystyle N,D} są przemienne oraz φ : D Aut N {\displaystyle \varphi \colon D\to \operatorname {Aut} \;N} jest trywialny.

Przykłady | edytuj kod

  • Grupa diedralna rzędu 2 n {\displaystyle 2n} jest iloczynem półprostym wewnętrznym D n = Z n Z 2 . {\displaystyle D_{n}=\mathbb {Z} _{n}\rtimes \mathbb {Z} _{2}.}
  • Grupa izometrii przestrzeni R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} jest iloczynem półprostym grupy obrotów oraz symetrii z grupą translacji.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Iloczyny grup" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy