Indukcja matematyczna


Indukcja matematyczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii To jest najnowsza wersja przejrzana, która została oznaczona 3 maj 2019. Od tego czasu wykonano 1 zmianę, która oczekuje na przejrzenie. Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Indukcja matematyczna – metoda dowodzenia twierdzeń o prawdziwości nieskończonej liczby stwierdzeń oraz definiowania rekurencyjnego (zob. osobna sekcja). W najbardziej typowych przypadkach dotyczą one liczb naturalnych.

Dowody wykorzystujące metodę indukcji nazywa się dowodami indukcyjnymi, choć wbrew sugestywnej nazwie argumenty oparte na indukcji matematycznej nie są rozumowaniami indukcyjnymi, lecz dedukcyjnymi (podobnie jak cała matematyka). Najstarszy znany dowód indukcyjny, dotyczący sumy początkowych liczb nieparzystych[a], podał Francesco Maurolico (1494–1575) w pracy Arithmeticorum libri duo („Dwie księgi o arytmetyce”) z 1575 roku.

Wprowadzenie | edytuj kod

 Zobacz też: zbiór nieskończonyliczby naturalne. Efekt domina

Jak dowieść prawdziwości poniższych stwierdzeń?

2 n n d l a   w s z y s t k i c h   n N , 1 + 2 + + n = n ( n + 1 ) 2 d l a   w s z y s t k i c h   n N , n n + 1 ( n + 1 ) n d l a   w s z y s t k i c h   n N   p o z a   n = 1 , 2. {\displaystyle {\begin{aligned}2^{n}\geqslant n&\quad \mathrm {dla\ wszystkich} \ n\in \mathbb {N} ,\\1+2+\dots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}&\quad \mathrm {dla\ wszystkich} \ n\in \mathbb {N} ,\\n^{n+1}\geqslant (n+1)^{n}&\quad \mathrm {dla\ wszystkich} \ n\in \mathbb {N} \ \mathrm {poza} \ n=1,2.\end{aligned}}}

Każde z nich zawiera zmienną n {\displaystyle n} przebiegającą zbiór nieskończony N . {\displaystyle \mathbb {N} .} Każde z tych stwierdzeń jest w istocie zbiorem nieskończenie wielu stwierdzeń. Można zbadać skończoną ich liczbę, gdzie n {\displaystyle n} przyjmuje pewne konkretne wartości, przykładowo sprawdzić 2 n n {\displaystyle 2^{n}\geqslant n} dla n = 1 , 2 , 3 , , 1 000 000 , {\displaystyle n=1,2,3,\dots ,1\,000\,000,} i czuć się przekonanym o prawdziwości tego stwierdzenia, ale daleko takiemu postępowaniu do dowodu[b]. Z drugiej strony nie sposób sprawdzić prawdziwości nieskończenie wielu stwierdzeń w skończonym czasie. Pozostaje więc uciec się do innych metod. Mając na celu dowodzenie stwierdzeń o wszystkich liczbach naturalnych wprowadza się aksjomat – jest to w istocie piąty z aksjomatów Giuseppe Peana (1858–1932) liczb naturalnych – tzw. aksjomat indukcji matematycznej (zob. szczegóły).

Często używaną ilustracją jest efekt domina: ustawiając szereg kamieni domina jeden za drugim można być pewnym przewrócenia wszystkich kamieni (nawet ich nieskończonej liczby), jeśli tylko przewrócono pierwszy kamień, a każdy kamień (z wyjątkiem ostatniego, o ile taki istnieje) przewraca kolejny.

Indukcja niezupełna | edytuj kod

Aksjomat indukcji matematycznej
Jeśli S {\displaystyle S} jest podzbiorem N , {\displaystyle \mathbb {N} ,} który spełnia
  • 1 S , {\displaystyle 1\in S,}
  • dla wszystkich k N , {\displaystyle k\in \mathbb {N} ,} jeśli k S , {\displaystyle k\in S,} to k + 1 S , {\displaystyle k+1\in S,}
to S {\displaystyle S} stanowi całość N , {\displaystyle \mathbb {N} ,} tzn. S = N . {\displaystyle S=\mathbb {N} .}

Aksjomat ten można wykorzystać do dowodzenia stwierdzeń postaci „ p n {\displaystyle p_{n}} dla każdego n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ” jak następuje. Niech S N {\displaystyle S\subseteq \mathbb {N} } będzie zbiorem wszystkich liczb naturalnych, dla których p n {\displaystyle p_{n}} jest prawdziwe. W pierwszym kroku, tzw. bazie indukcji, sprawdza się, czy 1 S , {\displaystyle 1\in S,} czyli prawdziwość p 1 . {\displaystyle p_{1}.} Następnie zakłada się, że k S , {\displaystyle k\in S,} czyli prawdziwość p k , {\displaystyle p_{k},} i przy tym założeniu, nazywanym hipotezą indukcyjną, dowodzi się prawdziwości p k + 1 . {\displaystyle p_{k+1}.} W ten sposób pokazuje się, że k S {\displaystyle k\in S} pociąga k + 1 S . {\displaystyle k+1\in S.} Z aksjomatu indukcji matematycznej wynika S = N , {\displaystyle S=\mathbb {N} ,} a więc p n {\displaystyle p_{n}} jest prawdziwe dla wszystkich n N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .}

Powyższy aksjomat można więc sformułować w postaci następującej procedury:

Zasada indukcji matematycznej
Niech p n {\displaystyle p_{n}} będzie stwierdzeniem zawierającym liczbę naturalną n {\displaystyle n} [c]. Można dowieść stwierdzenia dla każdego n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } jest p n , {\displaystyle p_{n},} zapewniając, że
  • p 1 {\displaystyle p_{1}} jest prawdziwe,
  • dla wszystkich k N , {\displaystyle k\in \mathbb {N} ,} jeśli p k {\displaystyle p_{k}} jest prawdziwe, to p k + 1 {\displaystyle p_{k+1}} jest prawdziwe.

Dowody korzystające z zasady indukcji matematycznej składają się z dwóch kroków. Pierwszym jest dowód prawdziwości p 1 ; {\displaystyle p_{1};} w praktyce jest to zwykle dość proste, ale nie wolno zaniedbywać tego kroku. W drugim kroku zakłada się prawdziwość p k , {\displaystyle p_{k},} założenie to jest hipotezą indukcyjną, i pod tym założeniem dowodzi prawdziwości p k + 1 . {\displaystyle p_{k+1}.} Dowód przez indukcję nie będzie pełny (ani poprawny), jeśli przeprowadzi się tylko pierwszy krok, a pominie drugi bądź wykona drugi z kroków, a opuści pierwszy. Kontrastując z opisanym dalej wariantem powyższą zasadę nazywa się też indukcją niezupełną.

Przykłady | edytuj kod

Suma początkowych liczb naturalnych
 Zobacz też: liczba trójkątna. Należy dowieść 1 + 2 + + n = n ( n + 1 ) 2 d l a   w s z y s t k i c h   n N . {\displaystyle 1+2+\dots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}\quad \mathrm {dla\ wszystkich} \ n\in \mathbb {N} .} W tym celu wykorzystana zostanie zasada indukcji matematycznej:
  • 1 = 1 ( 1 + 1 ) 2 , {\displaystyle 1={\tfrac {1(1+1)}{2}},} a więc wzór jest prawdziwy dla n = 1. {\displaystyle n=1.}
  • Czyniąc założenie (hipotezę indukcyjną) 1 + 2 + + k = k ( k + 1 ) 2 {\displaystyle 1+2+\dots +k={\tfrac {k(k+1)}{2}}} należy upewnić się, że 1 + 2 + + k + ( k + 1 ) = ( k + 1 ) ( ( k + 1 ) + 1 ) 2 . {\displaystyle 1+2+\dots +k+(k+1)={\tfrac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}.}
Otóż 1 + 2 + + k + ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) ( h i p o t e z a   i n d . ) = ( k 2 + 1 ) ( k + 1 ) = ( k + 1 ) ( k + 2 ) 2 , , {\displaystyle {\begin{aligned}1+2+\dots +k+(k+1)&={\tfrac {k(k+1)}{2}}+(k+1)\qquad \mathrm {(hipoteza\ ind{.})} \\&=({\tfrac {k}{2}}+1)(k+1)\\&={\tfrac {(k+1)(k+2)}{2}},\end{aligned}},} a więc wzór jest prawdziwy dla n = k + 1 , {\displaystyle n=k+1,} o ile tylko jest prawdziwy dla n = k . {\displaystyle n=k.} Stąd 1 + 2 + + n = n ( n + 1 ) 2 d l a   w s z y s t k i c h   n N . {\displaystyle 1+2+\dots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}\quad \mathrm {dla\ wszystkich} \ n\in \mathbb {N} .}
Suma początkowych potęg dwójki
 Zobacz też: potęga dwójki. Należy dowieść 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 n = 2 n + 1 2 d l a   w s z y s t k i c h   n N . {\displaystyle 2^{1}+2^{2}+2^{3}+\dots +2^{n}=2^{n+1}-2\quad \mathrm {dla\ wszystkich} \ n\in \mathbb {N} .}
  • Jest 2 1 = 2 1 + 1 2 , {\displaystyle 2^{1}=2^{1+1}-2,} co dowodzi prawdziwości stwierdzenia dla n = 1. {\displaystyle n=1.}
  • Zakładając 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 k = 2 k + 1 2 {\displaystyle 2+2^{2}+2^{3}+\dots +2^{k}=2^{k+1}-2} należy dowieść 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 k + 2 k + 1 = 2 ( k + 1 ) + 1 2. {\displaystyle 2^{1}+2^{2}+2^{3}+\dots +2^{k}+2^{k+1}=2^{(k+1)+1}-2.}
Ponieważ 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 k + 2 k + 1 = ( 2 k + 1 2 ) + 2 k + 1 ( h i p o t e z a   i n d . ) = 2 ( 2 k + 1 ) 2 = 2 k + 2 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}+2^{2}+2^{3}+\dots +2^{k}+2^{k+1}&=(2^{k+1}-2)+2^{k+1}\qquad \mathrm {(hipoteza\ ind{.})} \\&=2(2^{k+1})-2\\&=2^{k+2}-2,\end{aligned}}} to wzór jest prawdziwy dla n = k + 1 , {\displaystyle n=k+1,} jeśli tylko jest prawdziwy dla n = k . {\displaystyle n=k.} Zatem 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 n = 2 n + 1 2 d l a   w s z y s t k i c h   n N . {\displaystyle 2^{1}+2^{2}+2^{3}+\dots +2^{n}=2^{n+1}-2\quad \mathrm {dla\ wszystkich} \ n\in \mathbb {N} .}
Nierówność Bernoulliego
 Zobacz też: nierówność Bernoulliego. Niech h 1 {\displaystyle h\geqslant -1} będzie ustaloną liczbą rzeczywistą. Należy udowodnić, że ( 1 + h ) n 1 + n h {\displaystyle (1+h)^{n}\geqslant 1+nh} dla wszystkich n N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .}
  • Skoro ( 1 + h ) 1 1 + 1 h , {\displaystyle (1+h)^{1}\geqslant 1+1h,} to nierówność jest prawdziwa dla n = 1. {\displaystyle n=1.}
  • Przyjmując ( 1 + h ) k 1 + k h {\displaystyle (1+h)^{k}\geqslant 1+kh} wykazana zostanie ( 1 + h ) k + 1 1 + ( k + 1 ) h . {\displaystyle (1+h)^{k+1}\geqslant 1+(k+1)h.}
Zachodzi ( 1 + h ) k + 1 = ( 1 + h ) k ( 1 + h ) ( 1 + k h ) ( 1 + h ) ( h i p .   i n d .   i 1 + h 0 ) = 1 + h + k h + k h 2 1 + h + k h + 0 = 1 + ( k + 1 ) h , {\displaystyle {\begin{aligned}(1+h)^{k+1}&=(1+h)^{k}(1+h)\\&\geqslant (1+kh)(1+h)\qquad \mathrm {(hip{.}\ ind{.}\ i\;} 1+h\geqslant 0\mathrm {)} \\&=1+h+kh+kh^{2}\\&\geqslant 1+h+kh+0\\&=1+(k+1)h,\end{aligned}}} więc nierówność jest prawdziwa dla n = k + 1 , {\displaystyle n=k+1,} o ile jest prawdziwa dla n = k . {\displaystyle n=k.} Na mocy zasady indukcji matematycznej ( 1 + h ) n 1 + n h {\displaystyle (1+h)^{n}\geqslant 1+nh} dla wszystkich n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } (dla h 1 {\displaystyle h\geqslant -1} ).

Indukcja zupełna | edytuj kod

Czasami wygodnie jest użyć zasady indukcji w nieco innej postaci. Zakłada się w niej prawdziwość (nie tylko q k {\displaystyle q_{k}} ), a każdego z q 1 , q 2 , , q k {\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{k}} i wnosi o prawdziwości q k + 1 . {\displaystyle q_{k+1}.} Zapewnia to o prawdziwości q n {\displaystyle q_{n}} dla wszystkich n N , {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,} o czym mówi poniższy

Lemat
Niech q n {\displaystyle q_{n}} będzie stwierdzeniem zawierającym liczbę naturalną n {\displaystyle n} [c]. Zakładając, że
  • q 1 {\displaystyle q_{1}} jest prawdziwe,
  • dla wszystkich k N , {\displaystyle k\in \mathbb {N} ,} jeśli q 1 , q 2 , , q k {\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{k}} są prawdziwe, to q k + 1 {\displaystyle q_{k+1}} jest prawdziwe,
otrzymuje się prawdziwość q n {\displaystyle q_{n}} dla wszystkich n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } [d].

Dzięki niemu zasada indukcji matematycznej może zyskać nową, czasem bardziej użyteczną postać, tzw. indukcji zupełnej.

Zasada indukcji matematycznej
Niech q n {\displaystyle q_{n}} będzie stwierdzeniem zawierającym liczbę naturalną n {\displaystyle n} [c]. Można dowieść stwierdzenia dla każdego n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } jest q n , {\displaystyle q_{n},} zapewniając, że
  • q 1 {\displaystyle q_{1}} jest prawdziwe,
  • dla wszystkich k N , {\displaystyle k\in \mathbb {N} ,} jeśli q 1 , q 2 , , q k {\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{k}} są prawdziwe, to q k + 1 {\displaystyle q_{k+1}} jest prawdziwe.

Inne warianty | edytuj kod

Stwierdzenie „ 2 n n 2 {\displaystyle 2^{n}\geqslant n^{2}} ” nie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n , {\displaystyle n,} zachodzi jednak dla wszystkich liczb naturalnych n 4. {\displaystyle n\geqslant 4.} Do dowiedzenia tego i podobnych mu stwierdzeń również można wykorzystać zasadę indukcji matematycznej. Niech a {\displaystyle a} będzie ustaloną liczbą całkowitą (dodatnią, ujemną, zerem) i niech p n {\displaystyle p_{n}} będzie stwierdzeniem dotyczącym liczby całkowitej n a . {\displaystyle n\geqslant a.} Udowodnienie prawdziwości p n {\displaystyle p_{n}} dla n a {\displaystyle n\geqslant a} polega na wykazaniu, że

  • p a {\displaystyle p_{a}} jest prawdziwe,
  • dla wszystkich k a , {\displaystyle k\geqslant a,} jeśli p k {\displaystyle p_{k}} jest prawdziwe, to p k + 1 {\displaystyle p_{k+1}} jest prawdziwe[e].

Istnieje również podobna modyfikcja zasady indukcji zupełnej.

Aksjomat czy twierdzenie? | edytuj kod

 Osobny artykuł: aksjomat indukcji.

W wielu źródłach można zamiast „aksjomatu indukcji” spotkać nazwę „twierdzenie o indukcji”; odpowiedź na pytanie tytułowe zależy od kontekstu, w którym jest ono stawiane.

W zastosowaniach matematyki, matematyce elementarnej, czy matematyce dyskretnej dominuje tendencja do mówienia o „twierdzeniu o indukcji matematycznej”, również dlatego, by uniknąć przesadnej formalizacji. Wprowadzając indukcję matematyczną podaje się często dowód twierdzenia o indukcji korzystając z dość intuicyjnej zasady dobrego uporządkowania liczb naturalnych, tzn. założenia, że każdy niepusty zbiór liczb naturalnych zawiera element najmniejszy.

Natomiast w logice, szczególnie gdy liczby naturalne wprowadzane są za pomocą aksjomatów Peana, indukcja traktowana jest jako aksjomat. Z powodu kwantyfikowania po zbiorach w gruncie rzeczy jest to aksjomat logiki drugiego rzędu; w przypadku, gdy rozwijana teoria jest formalizowana w logice pierwszego rzędu, wyrażenie „aksjomat indukcji” oznacza w istocie schemat aksjomatu: nieskończoną listę aksjomatów, osobnych dla każdej formuły.

Definiowanie | edytuj kod

 Osobne artykuły: definicjarekurencja.

Ważną konsekwencją zasady indukcji matematycznej jest następujące twierdzenie uzasadniające poprawność definiowania rekurencyjnego:

Niech U {\displaystyle U} będzie zbiorem wszystkich ciągów skończonych o wyrazach z niepustego zbioru X , {\displaystyle X,} a N < n = { m N : m < n } {\displaystyle \mathbb {N} _{<n}=\{m\in \mathbb {N} \colon m<n\}} oznacza zbiór liczb naturalnych mniejszych od wybranej liczby n N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} Dla danej funkcji f : U X {\displaystyle f\colon U\to X} istnieje jedna i tylko jedna funkcja g : N X , {\displaystyle g\colon \mathbb {N} \to X,} która dla każdej liczby naturalnej k N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } spełnia g ( k ) = f ( g N < k ) , {\displaystyle g(k)=f\left(g\upharpoonright _{\mathbb {N} _{<k}}\right),} gdzie {\displaystyle \upharpoonright } oznacza zawężenie funkcji.

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Równość 1 + 3 + + ( 2 n 1 ) = n 2 {\displaystyle 1+3+\dots +(2n-1)=n^{2}} jest prawdziwa dla wszystkich n N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .}
  2. Twierdzenie to dotyczące liczb kardynalnych (tzn. „liczności” zbiorów) nosi nazwę twierdzenia Cantora: wszystkich podzbiorów danego zbioru jest niemniej niż elementów tego zbioru, 2 κ κ {\displaystyle 2^{\kappa }\geqslant \kappa } dla dowolnej liczby kardynalnej κ . {\displaystyle \kappa .}
  3. a b c Dokładniej: formułą w pewnym języku, w którym jedyną zmienną wolną jest n , {\displaystyle n,} a dziedzina tej zmiennej zawiera wszystkie liczby naturalne.
  4. Dowód zgodnie z zasadą indukcji matematycznej (niezupełnej). Niech ( i )   p 1 , = q 1 ( i i )   p k = q 1   i   q 2   i     i   q k ( d l a   w s z y s t k i c h   k N , k 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {(i)} \ p_{1},&=q_{1}\\\mathrm {(ii)} \ p_{k}&=q_{1}\ \mathrm {i} \ q_{2}\ \mathrm {i} \ \dots \ \mathrm {i} \ q_{k}\;\;(\mathrm {dla\ wszystkich} \ k\in \mathbb {N} ,k\geqslant 2),\end{aligned}}} wtedy
    • p 1 {\displaystyle p_{1}} jest prawdziwe (z założenia o bazie indukcyjnej (i)),
    • przyjmując hipotezę indukcyjną, że p k {\displaystyle p_{k}} jest prawdziwe; wówczas: q 1 {\displaystyle q_{1}} i q 2 {\displaystyle q_{2}} i … i q k {\displaystyle q_{k}} jest prawdziwe (z definicji q k {\displaystyle q_{k}} ), q 1 , q 2 , , q k {\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{k}} wszystkie są prawdziwe (z własności koniunkcji), q k + 1 {\displaystyle q_{k+1}} jest prawdziwe (z założenia o hipotezie indukcyjnej (ii)), q 1 , q 2 , , q k , q k + 1 {\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{k},q_{k+1}} wszystkie są prawdziwe, q 1 {\displaystyle q_{1}} i q 2 {\displaystyle q_{2}} i … i q k {\displaystyle q_{k}} i q k + 1 {\displaystyle q_{k+1}} jest prawdziwe, p k + 1 {\displaystyle p_{k+1}} jest prawdziwe.
    Zatem dla każdego k N , {\displaystyle k\in \mathbb {N} ,} jeśli p k {\displaystyle p_{k}} jest prawdziwe, to p k + 1 {\displaystyle p_{k+1}} jest prawdziwe. Z zasady indukcji matematycznej (niezupełnej) p n {\displaystyle p_{n}} jest prawdziwe dla wszystkich n N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} Dlatego q 1 {\displaystyle q_{1}} i q 2 {\displaystyle q_{2}} i … i q n {\displaystyle q_{n}} są prawdziwe dla wszystkich n N , {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,} co kończy dowód.
  5. Można się o tym łatwo przekonać podstawiając r n = p n + a 1 {\displaystyle r_{n}=p_{n+a-1}} dla n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } i korzystając z zasady indukcji matematycznej (niezupełnej) dla r n {\displaystyle r_{n}} w miejsce p n . {\displaystyle p_{n}.}
Na podstawie artykułu: "Indukcja matematyczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy