Intensywność umieralności


Intensywność umieralności w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

intensywność umieralności (natężenie wymierania, ang. force of mortality) – wielkość wyrażająca śmiertelność dla danego wieku

μ x = lim Δ x 0 P r ( x < X < x + Δ x | X > x ) Δ x . {\displaystyle \mu _{x}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {Pr(x<X<x+\Delta x|X>x)}{\Delta x}}.\;}

Prawdopodobieństwo występujące w powyższym wzorze można wyrazić za pomocą funkcji przeżycia s ( x ) {\displaystyle s(x)} ( s ( x ) {\displaystyle s(x)} – prawdopodobieństwo, że noworodek dożyje wieku x {\displaystyle x} )

P r ( x < X < x + Δ x | X > x ) = s ( x ) s ( x + Δ x ) s ( x ) . {\displaystyle Pr(x<X<x+\Delta x|X>x)={\frac {s(x)-s(x+\Delta x)}{s(x)}}.\;}

Po podstawieniu otrzymuje się

μ x = lim Δ x 0 s ( x ) s ( x + Δ x ) s ( x ) Δ x = s ( x ) s ( x ) = d d x ln s ( x ) . {\displaystyle \mu _{x}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {s(x)-s(x+\Delta x)}{s(x)\Delta x}}=-{\frac {s'(x)}{s(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln s(x).\;}

Intensywność umieralności można również wyrazić w terminach prawdopodobieństw oznaczanych w naukach aktuarialnych symbolem t p x {\displaystyle {}_{t}p_{x}} ( t p x {\displaystyle {}_{t}p_{x}} – prawdopodobieństwo, że x {\displaystyle x} -latek przeżyje t {\displaystyle t} lat)

μ x + t = d d t t p x t p x = d d t ln t p x {\displaystyle \mu _{x+t}=-{\frac {{\frac {d}{dt}}{}_{t}p_{x}}{{}_{t}p_{x}}}=-{\frac {d}{dt}}\ln {}_{t}p_{x}\;}

Bibliografia | edytuj kod

  • Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, James C. Hickman, Donald A. Jones, Cecil J. Nesbit: Actuarial mathematics. Itasca, Ill.: Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-938959-10-7. (ang.)
  • Hans U. Gerber: Life insurance mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-52944-6. (ang.)
  • Mariusz Skałba: Ubezpieczenia na życie. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999. ISBN 83-204-2460-7. (pol.)
Na podstawie artykułu: "Intensywność umieralności" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy